Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 10 2015, 03:43 PM Publicado: #171
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Esperando mientras dan la aprobacion del propuesto les dejo uno que me parecio entrete si x,y son enteros y $TEX: $$\left( x-2y \right)\left( 1-2y \right)$$$ divide a $TEX: $$x^{2}-4y+1$$$ Pruebe que $TEX: $$\left\| x-2y \right\|$$$ es cuadrado perfecto

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 11 2015, 05:04 PM Publicado: #172
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Valido. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 15 2015, 08:03 PM Publicado: #173
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Hint plis :/

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 04:47 PM Publicado: #174
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	en vista de q ha pasado mucho tiempo, cambiaré el problema por algo más simple y para que esto siga avanzando.... Si $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ son cantidades positivas, demuestre que: $TEX: $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\dfrac{a^{2}+c^{2}}{a+c}\geqslant a+b+c$$ --------------------

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 05:30 PM Publicado: #175
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Escribimos la ecuacion de la siguiente manera: $TEX: $\dfrac{a^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}}{b+c}+\dfrac{c^{2}}{a+c} +\dfrac{b^{2}}{a+b}+\dfrac{c^{2}}{b+c}+\dfrac{a^{2}}{a+c}\geqslant a+b+c$$ Luego aplicando la desigualdad de CauchySchwarz se tiene que : $TEX: $\dfrac{a^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}}{b+c}+\dfrac{c^{2}}{a+c} +\dfrac{b^{2}}{a+b}+\dfrac{c^{2}}{b+c}+\dfrac{a^{2}}{a+c}\geqslant \dfrac{(2a+2b+2c)^2}{2a+2b+2c} = 2(a+b+c) \geqslant (a+b+c)$$ Demostrando lo pedido

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 05:31 PM Publicado: #176
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(nagernager @ Jan 18 2015, 05:30 PM) Escribimos la ecuacion de la siguiente manera: $TEX: $\dfrac{a^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}}{b+c}+\dfrac{c^{2}}{a+c} +\dfrac{b^{2}}{a+b}+\dfrac{c^{2}}{b+c}+\dfrac{a^{2}}{a+c}\geqslant a+b+c$$ Luego aplicando la desigualdad de CauchySchwarz se tiene que : $TEX: $\dfrac{a^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}}{b+c}+\dfrac{c^{2}}{a+c} +\dfrac{b^{2}}{a+b}+\dfrac{c^{2}}{b+c}+\dfrac{a^{2}}{a+c}\geqslant \dfrac{(2a+2b+2c)^2}{2a+2b+2c} = 2(a+b+c) \geqslant (a+b+c)$$ Demostrando lo pedido correcto, propone... --------------------

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 06:00 PM Publicado: #177
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Sigamos con desigualdades $TEX: Sean x,y,z números reales positivos tales que $xyz=1$.Demostrar que$ $TEX: $\dfrac{1}{yz+z}+\dfrac{1}{zx+x}+\dfrac{1}{xy+y}\geq \dfrac{3}{2} $$

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 06:29 PM Publicado: #178
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Solución: Aplicando la desigualdad de Nesbitt para los números $TEX: $ 1, x, xz $$ resulta: $TEX: $ \displaystyle \frac{x}{1+xz} + \frac{1}{zx+x} + \frac{xz}{x+1} \ge \frac{3}{2} $$ Ahora, amplificando la primera fracción por $TEX: $ yz $$ y la tercera por $TEX: $ y $$ , nos queda: $TEX: $ \displaystyle \frac{xyz}{yz+xyzz} + \frac{1}{zx+x} + \frac{xyz}{xy+y} \ge \frac{3}{2} $$ $TEX: $ \displaystyle \frac{1}{yz+z} + \frac{1}{zx+x} + \frac{1}{xy+y} \ge \frac{3}{2} $$ Demostrando lo solicitado. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 07:48 PM Publicado: #179
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(vocin @ Jan 18 2015, 06:29 PM) Solución: Aplicando la desigualdad de Nesbitt para los números $TEX: $ 1, x, xz $$ resulta: $TEX: $ \displaystyle \frac{x}{1+xz} + \frac{1}{zx+x} + \frac{xz}{x+1} \ge \frac{3}{2} $$ Ahora, amplificando la primera fracción por $TEX: $ yz $$ y la tercera por $TEX: $ y $$ , nos queda: $TEX: $ \displaystyle \frac{xyz}{yz+xyzz} + \frac{1}{zx+x} + \frac{xyz}{xy+y} \ge \frac{3}{2} $$ $TEX: $ \displaystyle \frac{1}{yz+z} + \frac{1}{zx+x} + \frac{1}{xy+y} \ge \frac{3}{2} $$ Demostrando lo solicitado. Bonita solución! no lo había pensado usar nesbitt,mi solución venía por otro lado, pero me quedo con la tuya.Proponga.

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 08:02 PM Publicado: #180
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Considere un polinomio $TEX: $ P(x) $$ , de grado 3 y coeficientes enteros, para el que existen tres enteros distintos $TEX: $ a, b, c $$ tales que $TEX: $ P(a)=P(b)=P©=2 $$ . Demuestre que no existe otro entero $TEX: $ d $$ tal que $TEX: $ P(d)=3 $$ P.D: Hay un viejo proberbio chino que dice: "Si ves una desigualdad con cara a Nesbitt, probablemente sea Nesbitt camuflado" -Anónimo Mensaje modificado por vocin el Jan 18 2015, 08:03 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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