Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[juancodmw]

en ese conjunto de números, tenemos 7 múltiplos de 7, si tomamos cualquier par de esos 7 números, estos cumplen con lo pedido, y son , ya, para encontrar los demás pares, es fácil notar (con un trabajito con módulos) que todos los números que dejen resto x en modulo 7 cumplen con lo pedido con otro numero que deje resto 7-x en modulo 7 con x<7, por tanto tomaremos el conjunto de números que dejan resto 1 y 6( que al ser elevados al cubo quedan con el mismo resto), que dejan resto 2 y 5(que al ser elevados al cubo dejan resto 1 y 6 respectivamente) y resto 3 y 4(que al ser elevados al cubo dejan resto 1 y 6 respectivamente), o sea podemos combinar cualquiera que deje resto 1 con otro que deje resto 6, como son 22 números que dejan resto 1 y 21 que dejan resto 6, por tanto existen 21x22x2=924, que sumado a los 42 iniciales, resulta 966

saludos

Mensaje modificado por juancodmw el Jan 8 2015, 09:47 PM

[Adrianocor]

en ese conjunto de números, tenemos 7 múltiplos de 7, si tomamos cualquier par de esos 7 números, estos cumplen con lo pedido, y son , ya, para encontrar los demás pares, es fácil notar (con un trabajito con módulos) que todos los números que dejen resto x en modulo 7 cumplen con lo pedido con otro numero que deje resto 7-x en modulo 7 con x<7, por tanto tomaremos el conjunto de números que dejan resto 1 y 6, que dejan resto 2 y 5 y resto 3 y 4, comenzamos para los que dejan resto 1 y 6, y vemos que son 8 números que dejan resto 1 y 7 que dejan resto 6, se sigue que los pares que cumplen con lo pedido son 8x7x2=112, para los restos 2 y 5, de la misma forma, se obtienen 7x7x2=98, y finalmente para los restos 3 y 4 se obtienen 7x7x2=98, sumamos y nos da 360 pares...

saludos

los cubos solo dejan resto 1,6 (mod 7)

[Cenizas con Most...]

no son caleta?

me dan 483, asumiendo por ej que el par 7,14 es el mismo que el 14,7.

si no me da 966

Cuando se trabaja con pares ordenados, . Lo otro, ¿tan difícil es poner una justificación? Tenga un poco más de decencia, por favor Ah, y los cubos también pueden dejar resto 0, pero eso es un detalle xD

en ese conjunto de números, tenemos 7 múltiplos de 7, si tomamos cualquier par de esos 7 números, estos cumplen con lo pedido, y son , ya, para encontrar los demás pares, es fácil notar (con un trabajito con módulos) que todos los números que dejen resto x en modulo 7 cumplen con lo pedido con otro numero que deje resto 7-x en modulo 7 con x<7, por tanto tomaremos el conjunto de números que dejan resto 1 y 6, que dejan resto 2 y 5 y resto 3 y 4, comenzamos para los que dejan resto 1 y 6, y vemos que son 8 números que dejan resto 1 y 7 que dejan resto 6, se sigue que los pares que cumplen con lo pedido son 8x7x2=112, para los restos 2 y 5, de la misma forma, se obtienen 7x7x2=98, y finalmente para los restos 3 y 4 se obtienen 7x7x2=98, sumamos y nos da 360 pares...

saludos

Tu respuesta me da a entender que intentas forzar que sea múltiplo de , eso es insuficiente. Qué pasaría si es múltiplo de 7 sin serlo ?

[juancodmw]

si si, esta bien, pero si te fijas no afecta en lo mio, hasta cierto punto xd, debo seguir... calmao

Mensaje modificado por juancodmw el Jan 8 2015, 09:41 PM

[Cenizas con Most...]

si si, esta bien, pero si te fijas no afecta en lo mio, hasta cierto punto xd, debo seguir... calmao

pero no es múltiplo de , no se si se entiende.

[juancodmw]

ya, ahí esta editado

[alonc]

Ya, lo tomo!

Sea tal que si y entonces . ¿Cuál es la mayor cantidad posible de elementos que puede tener TEX: $S$? Justifique bien y detalladamente su respuesta.

aunque lo cambiaron
si por ejemplo tomo que y
vemos que a y b recorren todos los naturales, entonces ?
o entendí mal el enunciado?

Mensaje modificado por alonc el Jan 8 2015, 10:14 PM

[juancodmw]

aunque lo cambiaron
si por ejemplo tomo que y
vemos que a y b recorren todos los naturales, entonces ?
o entendí mal el enunciado?

pensé lo mismo xd, pero la idea es que para cada a y b de ese conjunto se cumpla lo pedido, y ahí se te va al hoyo tu respuesta. saludos

[Cenizas con Most...]

en ese conjunto de números, tenemos 7 múltiplos de 7, si tomamos cualquier par de esos 7 números, estos cumplen con lo pedido, y son , ya, para encontrar los demás pares, es fácil notar (con un trabajito con módulos) que todos los números que dejen resto x en modulo 7 cumplen con lo pedido con otro numero que deje resto 7-x en modulo 7 con x<7, por tanto tomaremos el conjunto de números que dejan resto 1 y 6( que al ser elevados al cubo quedan con el mismo resto), que dejan resto 2 y 5(que al ser elevados al cubo dejan resto 1 y 6 respectivamente) y resto 3 y 4(que al ser elevados al cubo dejan resto 1 y 6 respectivamente), o sea podemos combinar cualquiera que deje resto 1 con otro que deje resto 6, como son 22 números que dejan resto 1 y 21 que dejan resto 6, por tanto existen 21x22x2=924, que sumado a los 42 iniciales, resulta 966

saludos

Desmenuzaré esto.

Primero, son 7 múltiplos de 7, y en ningún momento dije que , así que por principio multiplicativo son 49 posibilidades, no 42.

Segundo, lo marcado en negrita no es completo... te falta analizar algo importante que no lo veo claro en ninguna parte. ¿Qué pasa si y ? Eso escapa de tu análisis y creo que eso se extiende al resto de tu erróneo análisis.

aunque lo cambiaron
si por ejemplo tomo que y
vemos que a y b recorren todos los naturales, entonces ?
o entendí mal el enunciado?

No, y NO pueden estar en el conjunto al mismo tiempo.

[vocin]

Me voy a colgar de la idea de juancodmw:

Para formar parejas que sus cubos sumen un múltiplo de 7, podemos ver que los residuos cúbicos módulo 7 son 0 (para números congruentes a 0), 1 (para números congruentes a 1, 2, 4) y 6 (para números congruentes a 3, 5, 6). Es claro ver que hay 7 de los primeros, 22 de los segundos y 21 de los terceros. Para formar las parejas podemos:

-Tomar ambos congruentes a 0: 7*7=49 opciones
-El primero congruente a 1 y el segundo a 6: 22*21=462 opciones
-El segundo congruente a 6 y el primero a 1: 21*22=462 opciones

Esto nos da 973 parejas