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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

simio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 08:48 PM Publicado: #141
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 333 Registrado: 4-December 13 Desde: la jungla Miembro Nº: 125.821 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Jan 6 2015, 10:30 PM) tratare de aplicarle, eso si, me apoyare con sumas conocidas.... notemos que: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(i+1)^{5}-i^{5}}=\sum_{i=1}^{n}{5i^{4}+10i^{3}+10i^{2}+5i+1}$$ y además por propiedad telescópica: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(i+1)^{5}-i^{5}}=(n+1)^{5}-1$$ , luego: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}5i^{4}+\sum_{i=1}^{n}10i^{3}+\sum_{i=1}^{n}10i^{2}+\sum_{i=1}^{n}5i+\sum_{i=1}^{n}1=(n+1)^{5}-1$$ se sabe que: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i}=\dfrac{n(n+1)}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^{2}}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^{3}}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$ reemplazando (llamemos S a la suma buscada): $TEX: $5S+10\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+10\left(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+5\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)+n=(n+1)^{5}-1$$ despejando S, se obtiene(la volaíta w.n): $TEX: $S=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{4}=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) (3n^{2}+3n-1)}{30}$$ saludos no quiero ser injusto, pero la explicación de vocin no la entendi , de todos modos no creo que sea tan importante quien gana sino lo que todos aprendemos, propone el citado. -------------------- "Hay que ser listo, hay que ser escurridizo, hay que ser hábil" error de imprenta/un hechicero lo hizo

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 09:02 PM Publicado: #142
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ya, ahí les va: Encuentre todos los números enteros positivos $TEX: $n$$ tales que: $TEX: $3^{n-1}+5^{n-1}\|3^{n}+5^{n}$$ --------------------

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 09:12 PM Publicado: #143
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Jan 6 2015, 09:02 PM) ya, ahí les va: Encuentre todos los números enteros positivos $TEX: $n$$ tales que: $TEX: $3^{n-1}+5^{n-1}\|3^{n}+5^{n}$$ Suponga que $TEX: $3^{n-1}+5^{n-1}\|3^n+5^n$$ . Vea que $TEX: $3=\dfrac{3^n+3\cdot 5^{n-1}}{3^{n-1}+5^{n-1}}<\dfrac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}<\dfrac{5\cdot 3^{n-1}+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}=5$$ , lo que significa que $TEX: $3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})$$ . Se sigue que $TEX: $5^{n-1}=3^{n-1}$$ lo que deja como única posibilidad que $TEX: $n=1$$ $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 09:20 PM Publicado: #144
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	bien, nunca se me ocurren cosas asi xdd, propone --------------------

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 09:27 PM Publicado: #145
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $N\in \mathbb{N}$$ . Encuentre $TEX: $C_N\in \mathbb{N}$$ tal que la ecuación $TEX: $x^2+xy+y^2=N$$ posea a lo más $TEX: $C_N$$ soluciones $TEX: $(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$$ . Observación: No les estoy pidiendo "la mejor cota", solo les pido una cota efectiva (aún cuando sea muy cerda o mala). Tengo en mente dos cotas distintas así que no me extrañaría que apareciera alguna otra forma de acotar. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jan 6 2015, 09:39 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2015, 11:23 AM Publicado: #146
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA 10 últimos mensajes [ en orden inverso ]Cenizas con Mostaza Escrito el Ayer, 09:27 PM Sea TEX: $N\in \mathbb{N}$. Encuentre TEX: $C_N\in \mathbb{N}$ tal que la ecuación TEX: $x^2+xy+y^2=N$ posea a lo más TEX: $C_N$ soluciones TEX: $(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Observación: No les estoy pidiendo "la mejor cota", solo les pido una cota efectiva (aún cuando sea muy cerda o mala). Tengo en mente dos cotas distintas así que no me extrañaría que apareciera alguna otra forma de acotar. eeem (no entendi el enunciado, pero seria algo como esto??) Independiente de los valores que tomen X ,Y o N siempre podre resolver la ecuacion con a lo mas $TEX: $C_n$$ valores distintos de (x, y)?

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2015, 11:45 AM Publicado: #147
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(alonc @ Jan 7 2015, 11:23 AM) eeem (no entendi el enunciado, pero seria algo como esto??) Independiente de los valores que tomen X ,Y o N siempre podre resolver la ecuacion con a lo mas $TEX: $C_n$$ valores distintos de (x, y)? $TEX: $N$$ es un número fijo. Lo que pido es una cota superior de la cantidad de soluciones enteras de la ecuación $TEX: $x^2+xy+y^2=N$$ (o sea, un valor $TEX: $C_N$$ que depende de $TEX: $N$$ de modo que dicha ecuación no tenga más de $TEX: $C_N$$ soluciones enteras). O sea, que esa cantidad de soluciones es finita. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

simio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2015, 11:47 AM Publicado: #148
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 333 Registrado: 4-December 13 Desde: la jungla Miembro Nº: 125.821 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(alonc @ Jan 7 2015, 01:23 PM) eeem (no entendi el enunciado, pero seria algo como esto??) Independiente de los valores que tomen X ,Y o N siempre podre resolver la ecuacion con a lo mas $TEX: $C_n$$ valores distintos de (x, y)? Cn depende de N notar que la ecuación describe gráficamente una elipse rotada y centrada en el orígen cuya máxima amplitud está dada por un valor 2a conocido (por determinar ) y dependiente de N, es fácil notar que el mismo valor 2a limita los valores de (x,y) al doble de los enteros que existen entre -a y a, me faltan muchas justificaciones -------------------- "Hay que ser listo, hay que ser escurridizo, hay que ser hábil" error de imprenta/un hechicero lo hizo

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2015, 11:57 AM Publicado: #149
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(simio @ Jan 7 2015, 11:47 AM) Cn depende de N notar que la ecuación describe gráficamente una elipse rotada y centrada en el orígen cuya máxima amplitud está dada por un valor 2a conocido (por determinar ) y dependiente de N, es fácil notar que el mismo valor 2a limita los valores de (x,y) al doble de los enteros que existen entre -a y a, me faltan muchas justificaciones Diste con la intuición que tenía en mente, eso recién es el principio. Ahora te falta concretar y dar una cota explícita del problema. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

simio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 7 2015, 01:00 PM Publicado: #150
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 333 Registrado: 4-December 13 Desde: la jungla Miembro Nº: 125.821 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	editado aplicaremos transformaciones de rotación cartesiana respecto al orígen: $TEX: $\displaystyle \\ x=x'\cos { \alpha } -y'\sin { \alpha } \\ y=x'\sin { \alpha } +y'\cos { \alpha } $$ nos queda la ecuación: $TEX: $ \\ { (x') }^{ 2 }(2\cos ^{ 2 }{ \alpha } +\cos { \alpha } \sin { \alpha } )+x'y'(\cos ^{ 2 }{ \alpha } -\sin ^{ 2 }{ \alpha } )+{ (y') }^{ 2 }(2\sin ^{ 2 }{ \alpha } -\sin { \alpha } \cos { \alpha } ) = N$$ a partir de ella determinamos $TEX: $\alpha$$ de tal manera que el coeficiente del término x'y' sea 0 $TEX: $(\cos ^{ 2 }{ \alpha } -\sin ^{ 2 }{ \alpha } )=0$$ tomaremos $TEX: $\alpha =\cfrac { \pi }{ 4 } $$ con esto operamos la ecuación anterior y nos queda la elipse en el eje de coordenadas x' y' $TEX: $\displaystyle \cfrac { { (x') }^{ 2 } }{ { \sqrt { \cfrac { 2N }{ 3 } } }^{ 2 } } +\cfrac { { (y') }^{ 2 } }{ { \sqrt { 2N } }^{ 2 } } =1$$ con $TEX: $a=\sqrt { 2N } $$ , e inscribible en una circunferencia de radio a se concluye que $TEX: ${ C }_{ N }=4\left[ \sqrt { 2N } \right] +2 $$ satisface Mensaje modificado por simio el Jan 7 2015, 01:48 PM -------------------- "Hay que ser listo, hay que ser escurridizo, hay que ser hábil" error de imprenta/un hechicero lo hizo

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