Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[simio]

tratare de aplicarle, eso si, me apoyare con sumas conocidas....

notemos que:

y además por propiedad telescópica: , luego:



se sabe que:







reemplazando (llamemos S a la suma buscada):



despejando S, se obtiene(la volaíta w.n):

saludos

no quiero ser injusto, pero la explicación de vocin no la entendi , de todos modos no creo que sea tan importante quien gana sino lo que todos aprendemos, propone el citado.

[juancodmw]

ya, ahí les va:

Encuentre todos los números enteros positivos tales que:

[Cenizas con Most...]

ya, ahí les va:

Encuentre todos los números enteros positivos tales que:

Suponga que . Vea que , lo que significa que . Se sigue que lo que deja como única posibilidad que

[juancodmw]

bien, nunca se me ocurren cosas asi xdd, propone

[Cenizas con Most...]

Sea . Encuentre tal que la ecuación posea a lo más soluciones .

Observación: No les estoy pidiendo "la mejor cota", solo les pido una cota efectiva (aún cuando sea muy cerda o mala). Tengo en mente dos cotas distintas así que no me extrañaría que apareciera alguna otra forma de acotar.

Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jan 6 2015, 09:39 PM

[alonc]

10 últimos mensajes [ en orden inverso ]Cenizas con Mostaza Escrito el Ayer, 09:27 PM
Sea TEX: $N\in \mathbb{N}$. Encuentre TEX: $C_N\in \mathbb{N}$ tal que la ecuación TEX: $x^2+xy+y^2=N$ posea a lo más TEX: $C_N$ soluciones TEX: $(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Observación: No les estoy pidiendo "la mejor cota", solo les pido una cota efectiva (aún cuando sea muy cerda o mala). Tengo en mente dos cotas distintas así que no me extrañaría que apareciera alguna otra forma de acotar.

eeem (no entendi el enunciado,
pero seria algo como esto??)
Independiente de los valores que tomen
X ,Y o N siempre podre resolver la ecuacion
con a lo mas valores distintos de (x, y)?

[Cenizas con Most...]

eeem (no entendi el enunciado,
pero seria algo como esto??)
Independiente de los valores que tomen
X ,Y o N siempre podre resolver la ecuacion
con a lo mas valores distintos de (x, y)?

es un número fijo. Lo que pido es una cota superior de la cantidad de soluciones enteras de la ecuación (o sea, un valor que depende de de modo que dicha ecuación no tenga más de soluciones enteras). O sea, que esa cantidad de soluciones es finita.

[simio]

eeem (no entendi el enunciado,
pero seria algo como esto??)
Independiente de los valores que tomen
X ,Y o N siempre podre resolver la ecuacion
con a lo mas valores distintos de (x, y)?

Cn depende de N

notar que la ecuación describe gráficamente una elipse rotada y centrada en el orígen cuya máxima amplitud está dada por un valor 2a conocido (por determinar ) y dependiente de N, es fácil notar que el mismo valor 2a limita los valores de (x,y) al doble de los enteros que existen entre -a y a, me faltan muchas justificaciones

[Cenizas con Most...]

Cn depende de N

notar que la ecuación describe gráficamente una elipse rotada y centrada en el orígen cuya máxima amplitud está dada por un valor 2a conocido (por determinar ) y dependiente de N, es fácil notar que el mismo valor 2a limita los valores de (x,y) al doble de los enteros que existen entre -a y a, me faltan muchas justificaciones

Diste con la intuición que tenía en mente, eso recién es el principio. Ahora te falta concretar y dar una cota explícita del problema.

[simio]

editado

aplicaremos transformaciones de rotación cartesiana respecto al orígen:



nos queda la ecuación:



a partir de ella determinamos de tal manera que el coeficiente del término x'y' sea 0



tomaremos

con esto operamos la ecuación anterior y nos queda la elipse en el eje de coordenadas x' y'



con , e inscribible en una circunferencia de radio a

se concluye que satisface

Mensaje modificado por simio el Jan 7 2015, 01:48 PM