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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2015, 06:00 PM Publicado: #131
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(simio @ Jan 2 2015, 05:45 PM) sabemos que la cantidad total de partidos en el torneo es de x(x-1) Falso. El total de partidos es la mitad de eso Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Jan 2 2015, 06:00 PM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

simio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2015, 06:06 PM Publicado: #132
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 333 Registrado: 4-December 13 Desde: la jungla Miembro Nº: 125.821 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Jan 2 2015, 08:00 PM) Falso. El total de partidos es la mitad de eso son cosas a las que estoy acostumbrado -------------------- "Hay que ser listo, hay que ser escurridizo, hay que ser hábil" error de imprenta/un hechicero lo hizo

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2015, 06:15 PM Publicado: #133
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(simio @ Jan 2 2015, 06:06 PM) son cosas a las que estoy acostumbrado Mis disculpas XD. Aún así no indicaste desarrollo de los partidos, pero llevas la mitad del problema. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 03:28 PM Publicado: #134
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Que proponga Simio, ya que esto se estancó. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

simio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 04:31 PM Publicado: #135
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 333 Registrado: 4-December 13 Desde: la jungla Miembro Nº: 125.821 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hallar $TEX: $\displaystyle \sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 4 } } $$ puede ser? -------------------- "Hay que ser listo, hay que ser escurridizo, hay que ser hábil" error de imprenta/un hechicero lo hizo

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 05:26 PM Publicado: #136
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Solución Demostraremos por inducción que: $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ x }{ { i }^{ 4 } } =\frac { 1 }{ 5 } x^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } x \)$ Para el caso base utilizaremos $TEX: \( x=1 \)$ . $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ 1 }{ { i }^{ 4 } } =\frac { 1 }{ 5 } 1^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { 1 }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { 1 }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } 1 \)$ $TEX: \( \displaystyle 1=\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 30 } \)$ Lo que es trivialmente cierto. Hagamos entonces el paso inductivo: $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ x+1 }{ { i }^{ 4 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle =\sum _{ i=1 }^{ x }{ { i }^{ 4 } }+(x+1)^4 \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } { x }^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } x+({ x }^{ 4 }+4{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }+4x+1) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } { x }^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } x+({ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 2 }+1{ x }^{ 2 }+1x+2x+1x+\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 30 } ) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\left( \frac { 1 }{ 5 } { x }^{ 5 }+{ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+1x+\frac { 1 }{ 5 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+2{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+2x+\frac { 1 }{ 2 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1{ x }^{ 2 }+1x+\frac { 1 }{ 3 } \right) -(\frac { 1 }{ 30 } x+\frac { 1 }{ 30 } ) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } \left( { x }^{ 5 }+5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }+5x+1 \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }^{ 4 }+4{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }+4x+1 \right) +\frac { 1 }{ 3 } \left( { x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+3x+1 \right) -\frac { 1 }{ 30 } (x+1) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } { (x+1) }^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { (x+1) }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { (x+1) }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } (x+1) \)$ Por el principio de inducción, la relación de arriba es válida para todo natural. Saludos! P.D. Comentario a la solución: Claramente, dada la dimensión del polinomio, no es algo que se me haya ocurrido "a ojo" o probando valores. El método que usé para llegar a dicha expresión fue el siguiente: supuse que existía un polinomio de grado $TEX: \( n \)$ que cumpliese: $TEX: \( { a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }+...+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }x+{ a }_{ 0 }=\sum _{ i=1 }^{ x }{ { i }^{ 4 } } \)$ Para todo $TEX: \( x \)$ natural; en particular, para un $TEX: \( x \)[tex] cualquiera y para [tex]\( x+1 \)[tex]. Si restamos ambas expresiones, nos queda a la derecha un polinomio de grado [tex]\( n+1 \)$ , y a la izquierda un polinomio de grado 4; esto nos hace pensar en que el polinomio de la izquierda será también de grado 4, y por lo tanto la expresión buscada será de grado 5. Luego de expandir y agrupar todo, nos queda que: $TEX: \( \displaystyle 5{ a }_{ 5 }{ x }^{ 4 }+\left( 10{ a }_{ 5 }+4{ a }_{ 4 } \right) { x }^{ 3 }+\left( 10{ a }_{ 5 }+6{ a }_{ 4 }+3{ a }_{ 3 } \right) { x }^{ 2 }+\left( 5{ a }_{ 5 }+4{ a }_{ 4 }+3{ a }_{ 3 }+2{ a }_{ 2 } \right) x+\left( { a }_{ 5 }+{ a }_{ 4 }+{ a }_{ 3 }+{ a }_{ 2 }+{ a }_{ 1 } \right) \)$ $TEX: \( \displaystyle =x^4+4x^3+6x^2+4x+1 \)$ Igualando término a término, nos queda un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas muy fácil de resolver, que nos da $TEX: \( a_5=\frac{1}{5}, a_4=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}, a_2=0, a_1=-\frac{1}{30} \)$ . Para obtener $TEX: \( a_0 \)$ usé los valores que ya tenía en x=2 (que es 17). Mensaje modificado por vocin el Jan 6 2015, 05:46 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

simio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 05:32 PM Publicado: #137
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 333 Registrado: 4-December 13 Desde: la jungla Miembro Nº: 125.821 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Jan 6 2015, 07:26 PM) Demostraremos por inducción que: $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ x }{ { i }^{ 4 } } =\frac { 1 }{ 5 } x^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } x \)$ Para el caso base utilizaremos $TEX: \( x=1 \)$ . $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ 1 }{ { i }^{ 4 } } =\frac { 1 }{ 5 } 1^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { 1 }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { 1 }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } 1 \)$ $TEX: \( \displaystyle 1=\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 30 } \)$ Lo que es trivialmente cierto. Hagamos entonces el paso inductivo: $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ x+1 }{ { i }^{ 4 } } \)$ $TEX: \( \displaystyle =\sum _{ i=1 }^{ x }{ { i }^{ 4 } }+(x+1)^4 \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } { x }^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } x+({ x }^{ 4 }+4{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }+4x+1) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } { x }^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } x+({ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+3{ x }^{ 2 }+1{ x }^{ 2 }+1x+2x+1x+\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 30 } ) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\left( \frac { 1 }{ 5 } { x }^{ 5 }+{ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+1x+\frac { 1 }{ 5 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }+2{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+2x+\frac { 1 }{ 2 } \right) +\left( \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1{ x }^{ 2 }+1x+\frac { 1 }{ 3 } \right) -(\frac { 1 }{ 30 } x+\frac { 1 }{ 30 } ) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } \left( { x }^{ 5 }+5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }+5x+1 \right) +\frac { 1 }{ 2 } \left( { x }^{ 4 }+4{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }+4x+1 \right) +\frac { 1 }{ 3 } \left( { x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+3x+1 \right) -\frac { 1 }{ 30 } (x+1) \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac { 1 }{ 5 } { (x+1) }^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { (x+1) }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { (x+1) }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } (x+1) \)$ Por el principio de inducción, la relación de arriba es válida para todo natural. Saludos! esta bien, pero el enunciado aunque corto dice claramente "Hallar" Mensaje modificado por simio el Jan 6 2015, 05:32 PM -------------------- "Hay que ser listo, hay que ser escurridizo, hay que ser hábil" error de imprenta/un hechicero lo hizo

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 05:48 PM Publicado: #138
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	No entiendo a qué se refiere con hallar, porque yo encontré que (luego de un cambio $TEX: \( x=n \)$ ): $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 4 } } =\frac { 1 }{ 5 } n^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { n }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } n \)$ Puede que no esté viendo lo obvio, agradecería que me comentases en qué estoy fallando Mensaje modificado por vocin el Jan 6 2015, 05:48 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 05:51 PM Publicado: #139
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Jan 6 2015, 05:48 PM) No entiendo a qué se refiere con hallar, porque yo encontré que (luego de un cambio $TEX: \( x=n \)$ ): $TEX: \( \displaystyle \sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ 4 } } =\frac { 1 }{ 5 } n^{ 5 }+\frac { 1 }{ 2 } { n }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 3 } { n }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 30 } n \)$ Puede que no esté viendo lo obvio, agradecería que me comentases en qué estoy fallando Básicamente tú conjeturaste una fórmula para la sumatoria y la demostraste vía inducción. Supongo que lo que simio esperaba era que usaras la técnica estándar para encontrar vía recursión la suma de la k-ésima potencia de los primeros n naturales (que es algo muy conocido). -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 6 2015, 08:30 PM Publicado: #140
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	tratare de aplicarle, eso si, me apoyare con sumas conocidas.... notemos que: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(i+1)^{5}-i^{5}}=\sum_{i=1}^{n}{5i^{4}+10i^{3}+10i^{2}+5i+1}$$ y además por propiedad telescópica: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(i+1)^{5}-i^{5}}=(n+1)^{5}-1$$ , luego: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}5i^{4}+\sum_{i=1}^{n}10i^{3}+\sum_{i=1}^{n}10i^{2}+\sum_{i=1}^{n}5i+\sum_{i=1}^{n}1=(n+1)^{5}-1$$ se sabe que: $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i}=\dfrac{n(n+1)}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^{2}}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $TEX: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{i^{3}}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$ reemplazando (llamemos S a la suma buscada): $TEX: $5S+10\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+10\left(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+5\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)+n=(n+1)^{5}-1$$ despejando S, se obtiene(la volaíta w.n): $TEX: $S=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{4}=\dfrac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) (3n^{2}+3n-1)}{30}$$ saludos --------------------

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