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> Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones
Cenizas con Most...
mensaje Jan 1 2015, 07:24 PM
Publicado: #101


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CITA(alonc @ Jan 1 2015, 07:15 PM) *
Algo un poco mas trivial pa que salga mas rapido...
Demuestre que
TEX: $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$

Es un cuadrado perfecto para cualquier valor de TEX: $n$


Con permiso

Es sencillo ver que TEX: $n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2$ (ocupé conmutatividad del producto y suma por diferencia, entre otras cosas). Asumiendo que TEX: $n\in \mathbb{Z}$ (algo que no sale específicado en el enunciado) se tiene que TEX: $n^2+3n+1\in \mathbb{Z}$ y por lo tanto la expresión original es un cuadrado perfecto. TEX: $\blacksquare$


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alonc
mensaje Jan 1 2015, 07:38 PM
Publicado: #102


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Muy bien!!
Proponga
(Se me paso que n pertenecia a z jpt_blush.gif )

Mensaje modificado por alonc el Jan 1 2015, 07:40 PM
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mensaje Jan 1 2015, 07:49 PM
Publicado: #103


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Sea TEX: $\triangle ABC$ un triángulo con TEX: $\measuredangle ABC=120°$ y TEX: $|BC|=2\cdot |AB|$. Sean TEX: $M,N$ los puntos medios de TEX: $BC,CA$, respectivamente y TEX: $P$ el punto donde se cortan TEX: $AM$ y TEX: $BN$. ¿Cuánto vale el TEX: $\measuredangle BPM$?


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juancodmw
mensaje Jan 1 2015, 08:38 PM
Publicado: #104


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bueno, lo que hice fue prolongar MN hasta D tal que MN=ND y la info esta toda en la imagen, de aca se sigue que BN es bisectriz de MDB, por lo que BPM=120°

yaya, se sabe que AB=BM, también se desprende que MN es mediana y por tanto mide la mitad del lado paralelo o sea, AB=2MN, como prolongué MN, tal que MN=ND implica que MD=AB=BM y por criterio de congruencia LAL, ABM es congruente con ADM y por tanto: AD=MD=AB=BM, como AD=AB y se desprende que DAB=60°, se sigue que DAB es equilátero por lo que BD=AD=MD=AB=BM, con esto concluimos que MDB también lo es y como N es punto medio de MD, o sea BN es transversal de gravedad y en el equilátero coincide con la bisectriz...de ahí se sigue con lo pedido..

saludos smile.gif

Mensaje modificado por juancodmw el Jan 1 2015, 09:01 PM


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mensaje Jan 1 2015, 08:52 PM
Publicado: #105


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CITA(juancodmw @ Jan 1 2015, 08:38 PM) *
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bueno, lo que hice fue prolongar MN hasta D tal que MN=ND y la info esta toda en la imagen, de aca se sigue que BN es bisectriz de MDB, por lo que BPM=120°

saludos smile.gif


Está demasiado incompleta. Por ejemplo, ¿por qué BN es bisectriz? Sigue en pie.


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juancodmw
mensaje Jan 1 2015, 09:03 PM
Publicado: #106


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ahí lo edite porsiaca


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mensaje Jan 1 2015, 09:08 PM
Publicado: #107


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Ahora sí, acepto. Dispara.


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juancodmw
mensaje Jan 1 2015, 09:10 PM
Publicado: #108


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algo facil

determine todos los pares de enteros TEX: $(m,n)$, tales que TEX: $m^{2}+n^{2}=2015$


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alonc
mensaje Jan 1 2015, 09:15 PM
Publicado: #109


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TEX: $X^2$ cong. A 0,1 o 4 en mod 8
2015 cong a 7 en mod 8
TEX: $m^2+n^2$ cong a 0,1,2,4,5 en mod 8
Por lo que no tiene soluciones enteras
y estamos...
Saludos...
(Vocin tenemos como lo mismo cuek solo que me exedi en el modulo...pero filo
perate a que te refieres con Edit:Alonc...?
Srry poca experiencia)

Mensaje modificado por alonc el Jan 1 2015, 09:25 PM
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vocin
mensaje Jan 1 2015, 09:17 PM
Publicado: #110


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Los cuadrados son congruentes a 0, 1 módulo 4 (si x=2p, x^2=4p^2; si x=2p+1, x^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1). De ahí que la suma de dos cuadrados pueda ser congruente a 0, 1 o 2 módulo 4, pero 2015 es congruente a 3. De ahí se infiere que no existen.

EDIT: Alonc ¬¬

Mensaje modificado por vocin el Jan 1 2015, 09:20 PM


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Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition

I wish, that I could turn back time
'cos now the guilt is all mine
can't live without
the trust from those you love
I know we can't forget the past
you can't forget love & pride
because of that, it's killing me inside
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