Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 07:24 PM Publicado: #101
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(alonc @ Jan 1 2015, 07:15 PM) Algo un poco mas trivial pa que salga mas rapido... Demuestre que $TEX: $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$$ Es un cuadrado perfecto para cualquier valor de $TEX: $n$$ Con permiso Es sencillo ver que $TEX: $n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n+1)^2$$ (ocupé conmutatividad del producto y suma por diferencia, entre otras cosas). Asumiendo que $TEX: $n\in \mathbb{Z}$$ (algo que no sale específicado en el enunciado) se tiene que $TEX: $n^2+3n+1\in \mathbb{Z}$$ y por lo tanto la expresión original es un cuadrado perfecto. $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 07:38 PM Publicado: #102
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Muy bien!! Proponga (Se me paso que n pertenecia a z ) Mensaje modificado por alonc el Jan 1 2015, 07:40 PM

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 07:49 PM Publicado: #103
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $\triangle ABC$$ un triángulo con $TEX: $\measuredangle ABC=120°$$ y $TEX: $\|BC\|=2\cdot \|AB\|$$ . Sean $TEX: $M,N$$ los puntos medios de $TEX: $BC,CA$$ , respectivamente y $TEX: $P$$ el punto donde se cortan $TEX: $AM$$ y $TEX: $BN$$ . ¿Cuánto vale el $TEX: $\measuredangle BPM$$ ? -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 08:38 PM Publicado: #104
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	djfndj.png ( 17.9k ) Número de descargas: 3 bueno, lo que hice fue prolongar MN hasta D tal que MN=ND y la info esta toda en la imagen, de aca se sigue que BN es bisectriz de MDB, por lo que BPM=120° yaya, se sabe que AB=BM, también se desprende que MN es mediana y por tanto mide la mitad del lado paralelo o sea, AB=2MN, como prolongué MN, tal que MN=ND implica que MD=AB=BM y por criterio de congruencia LAL, ABM es congruente con ADM y por tanto: AD=MD=AB=BM, como AD=AB y se desprende que DAB=60°, se sigue que DAB es equilátero por lo que BD=AD=MD=AB=BM, con esto concluimos que MDB también lo es y como N es punto medio de MD, o sea BN es transversal de gravedad y en el equilátero coincide con la bisectriz...de ahí se sigue con lo pedido.. saludos Mensaje modificado por juancodmw el Jan 1 2015, 09:01 PM --------------------

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 08:52 PM Publicado: #105
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Jan 1 2015, 08:38 PM) djfndj.png ( 17.9k ) Número de descargas: 3 bueno, lo que hice fue prolongar MN hasta D tal que MN=ND y la info esta toda en la imagen, de aca se sigue que BN es bisectriz de MDB, por lo que BPM=120° saludos Está demasiado incompleta. Por ejemplo, ¿por qué BN es bisectriz? Sigue en pie. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 09:03 PM Publicado: #106
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ahí lo edite porsiaca --------------------

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 09:08 PM Publicado: #107
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ahora sí, acepto. Dispara. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 09:10 PM Publicado: #108
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	algo facil determine todos los pares de enteros $TEX: $(m,n)$$ , tales que $TEX: $m^{2}+n^{2}=2015$$ --------------------

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 09:15 PM Publicado: #109
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $X^2$$ cong. A 0,1 o 4 en mod 8 2015 cong a 7 en mod 8 $TEX: $m^2+n^2$$ cong a 0,1,2,4,5 en mod 8 Por lo que no tiene soluciones enteras y estamos... Saludos... (Vocin tenemos como lo mismo cuek solo que me exedi en el modulo...pero filo perate a que te refieres con Edit:Alonc...? Srry poca experiencia) Mensaje modificado por alonc el Jan 1 2015, 09:25 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2015, 09:17 PM Publicado: #110
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Los cuadrados son congruentes a 0, 1 módulo 4 (si x=2p, x^2=4p^2; si x=2p+1, x^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1). De ahí que la suma de dos cuadrados pueda ser congruente a 0, 1 o 2 módulo 4, pero 2015 es congruente a 3. De ahí se infiere que no existen. EDIT: Alonc ¬¬ Mensaje modificado por vocin el Jan 1 2015, 09:20 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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