Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 22 2014, 09:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Bueno, después de analizarlo un poco, daremos comienzo a la Maratón Preolímpica. Antes de empezar, entregaremos las reglas de la maratón, para que seamos ordenados. Ahí van: Lo típico: - el usuario que resuelve el problema de forma correcta (siendo este el primero en hacerlo), tiene derecho a proponer el siguiente problema. - el usuario que proponga un problema, no puede responder el siguiente propuesto, pero si el subsiguiente. Sobre los problemas: - el nivel debe ser Preolímpico, obvio, nos limitaremos a los siguientes niveles: mínimo: nivel cmat máximo: nivel cono sur - si el problema no es resuelto en 1 día, el usuario debe dar un hint. - si el problema no es resuelto en 2 días, el problema se cambia, por el propio usuario que propuso. - si el problema se propone en la madrugada, se dará plazo hasta la 16hrs para que sea resuelto, si no se resuelve, se cambia. - se pide uso de latex cuando sea necesario, los problemas geométricos requieren imagen. sin más preámbulos, doy comienzo a la maratón con este problema (este tiene derecho de estar hasta las 16hrs, por la hora): cabros hubo un error xdd lo cambio, paso caleta de tiempo (ahora si, disculpas)... - Sea $TEX: $ABCD$$ un rectángulo de área $TEX: $S$$ , y $TEX: $P$$ un punto en su interior. Denotamos por $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ , $TEX: $d$$ las distancias desde $TEX: $P$$ hasta los vértices $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ , $TEX: $C$$ , $TEX: $D$$ , respectivamente. Pruebe que $TEX: $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 > 2S$$ . ¿Cuando se tiene la igualdad? aplíquense edit: nueva regla... Mensaje modificado por juancodmw el Dec 30 2014, 08:35 AM --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 12:18 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=6866 P6 Saludos

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 12:20 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Dec 23 2014, 12:18 PM) http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=6866 P6 Saludos jajaaj sapo, propone --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 12:24 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Problema 2: Sean $TEX: $x,y,z$$ reales tales que $TEX: $x\neq y$$ y $TEX: $x^2(y+z)=y^2(x+z)=2$$ Determine el valor de $TEX: $z^2(x+y)$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 12:36 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	El valor es 2 De las dos primeras ecuaciones se obtiene $TEX: $$\left( x+y \right)z+xy=0\Rightarrow z=-\frac{xy}{x+y}$$$ ya que $TEX: $$x\ne y$$$ Entonces lo que se pide calcular es $TEX: $$z^{2}\left( x+y \right)=\left( -\frac{xy}{x+y} \right)^{2}\left( x+y \right)=\frac{x^{2}y^{2}}{x+y}$$$ mezclando con las primeras ecuaciones el valor de z se tiene $TEX: $$2=x^{2}\left( y-\frac{xy}{x+y} \right)=x^{2}\left( \frac{xy+y^{2}-xy}{x+y} \right)=\frac{x^{2}y^{2}}{x+y}$$$ se obtiene que el valor pedido es 2 Mensaje modificado por pprimo el Dec 23 2014, 12:36 PM

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 01:15 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Dec 23 2014, 08:36 AM) El valor es 2 De las dos primeras ecuaciones se obtiene $TEX: $$\left( x+y \right)z+xy=0\Rightarrow z=-\frac{xy}{x+y}$$$ ya que $TEX: $$x\ne y$$$ Entonces lo que se pide calcular es $TEX: $$z^{2}\left( x+y \right)=\left( -\frac{xy}{x+y} \right)^{2}\left( x+y \right)=\frac{x^{2}y^{2}}{x+y}$$$ mezclando con las primeras ecuaciones el valor de z se tiene $TEX: $$2=x^{2}\left( y-\frac{xy}{x+y} \right)=x^{2}\left( \frac{xy+y^{2}-xy}{x+y} \right)=\frac{x^{2}y^{2}}{x+y}$$$ se obtiene que el valor pedido es 2 Correcto, propon con confianza

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 01:16 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Una segunda solución: Tenemos que: $TEX: $ x^2(y+z)=2 $$ y $TEX: $ y^2(z+x)=2 $$ Restándolas, resulta: $TEX: $ x^2y+x^2z-y^2z-y^2x=0 $$ $TEX: $ xy(x-y)+z(x^2-y^2)=0 $$ $TEX: $ xy(x-y)+(xz+yz)(x-y)=0 $$ $TEX: $ (x-y)(xy+yz+xz)=0 $$ Ya que $TEX: $ x-y $$ no es 0, tenemos que: $TEX: $ xy+yz+zx=0 $$ Utilicemos esto en la primera relación otorgada: $TEX: $ x^2(y+z)=2 $$ $TEX: $ x(xy+xz)=2 $$ $TEX: $ x(-yz)=2 $$ $TEX: $ -xyz=2 $$ Utilicemos este segundo valor en lo solicitado: $TEX: $ z^2(x+y) $$ $TEX: $ =z(zx+zy) $$ $TEX: $ =z(-xy) $$ $TEX: $ =-xyz $$ $TEX: $ =2 $$ Mensaje modificado por vocin el Dec 23 2014, 01:16 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 01:23 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Debido a un problema con la fuente lo cambio, disculpen las molestias Problema 3. Sea $TEX: $$f\left( x \right)=x^{2}+12x+30$$$ , encuentre las raices reales de $TEX: $$f\left( f\left( f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right) \right) \right)$$$ Mensaje modificado por pprimo el Dec 23 2014, 01:52 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 01:44 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	emm me imagino que debería ser $TEX: $f(x)=x^2 +12x+30$$ ? si es asi: $TEX: $f(x)=(x+6)^{2}-6$$ $TEX: $f(f(x))=(x+6)^{4}-6$$ para $TEX: $f(f(f((x)))=(x+6)^{8}-6$$ notemos que siempre se nos cancela el 6 y nos queda la expresión elevada al cuadrado, por tanto: $TEX: $f(f(f(f(f(x)))))=(x+6)^{32}-6$$ saludos --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2014, 01:48 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	correcto (: propones

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