Otro de concurrencia, Like a geometrist Opciones

[vocin]

En un triángulo ABC, se escogen arbitrariamente puntos A', B', C' sobre los segmentos BC, CA y AB respectivamente. La paralela a BB' por C y la paralela a CC' por B se intersectan en un punto A''; de manera simétrica se obtienen los puntos B'' y C''. Demuestre que las líneas AA', BB' y CC' concurren si y sólo si AA'', BB'' y CC'' concurren.

[naruto2]

Notemos que AB"CA"BC" forma un hexagono con lados opuestos paralelos, eso acorde a la construccion que propone el problema.
Si suponemos que AA", BB" y CC" concurren entonces los triangulos BCA" y B"C"A son perspectivos, luego segun Desargues sus respectivos lados deben concurrir sobre una recta, que en este ejemplo esta en el infinito ya que BA" es paralela con AB" y tambien CA" con AC" por lo tanto BC es paralela a B"C". De esto tenemos que BCB"C" forma un paralelogramo y entonces BC=B"C". Luego notamos facilmente con criterio ALA que dichos triangulos perpectivos son ademas congruentes. Asi, el hexagono, ademas, tiene lados opuestos iguales.
Entonces si P es la interseccion de las rectas BB' con CC' tendremos que BA"CP y BC"AP son paralelogramos, pero AP=B"C y CP=AB" entonces AB"CP es otro paralelogramo y ya de por si queda demostrada la concurrencia de AA', BB' y CC' cuando las diagonales del hexagono son concurrentes. Ahora, (como este es un problema de "si y solo si") queda demsotrar lo contrario.

[vocin]

Suena bien! Definitivamente no era la solución que tenía en mente, porque el vocin de 2014 no sabía aplicar el teorema de Desargues. Probablemente la solución que tenía era más métrica, de ver que la condición del teorema de Ceva para AA'', BB'' y CC'' era equivalente a la concurrencia del AA', BB' y CC'. Pero ni idea

[naruto2]

Probablemente la solución que tenía era más métrica, de ver que la condición del teorema de Ceva para AA'', BB'' y CC'' era equivalente a la concurrencia del AA', BB' y CC'. Pero ni idea

Seguramente, si yo lo sospeche porque tu dibujo tiene una serie de puntos (D, E,...) que no forman parte del enunciado. Lindo problema!

[Guz]

Acá lo que se me ocurrió. Probablemente una equivalencia a Ceva es lo + directo, pero yo pensé en una cosa algo distinta. Revisiones y críticas agradecidas y bienvenidas.

1. Supongamos que AA', BB', CC' se intersectan en G. Entonces, AG//BC'' y AC''//BG, lo cual implica que AGC''B es paralelogramo y AC''=BG. De la misma manera, AB''//CG y AB''=CG. Por lo tanto, triángulos AB''C'' y GCB son congruentes, y B''C''=BC. Razonando del mismo modo para los tres lados, tenemos que el triángulo ABC es congruente y paralelo al A''B''C'', pero rotado en 180º (no en 0º porque cada vértice correspondiente se ubica en semiplanos opuestos respecto de los lados opuestos). Por lo tanto, AA'', BB'', y CC'' se intersectan en el punto de rotación R, y son concurrentes. Esto también implica que R bisecta AA'', BB'', y CC''.
   
   
2. Supongamos que AA'', BB'', CC'' se intersectan en R. Por hipótesis, tenemos que BA''//CC'//AB'' AC''//BB'//A''C y BC''//AA'//B''C. Por otra parte, triángulo A''BC está en perspectiva con triángulo AB''C'' respecto a R. Como 2 de sus lados son paralelos, sus lados restantes lo son también por Desargues. Esto es, BC//C''B''. Pero como CB''//C''B, tenemos que CB''C''B es paralelogramo, y C''B''=CB. Razonando del mismo modo para los tres lados, tenemos que el triángulo ABC es congruente pero rotado en 180º respecto a A''B''C''.
   
   Ahora bien, definir el punto G como aquél simétrico de B'' respecto al punto medio de AC (de tal forma que AGCB'' sea un paralelogramo). Entonces, G está en AA' y CC' y AG//B''C//BC'' y AG=CB''. Pero ya vimos que CB''C''B es paralelogramo, por lo que BC''=B''C=AG, y AGBC'' es paralelogramo. Por ende, AC''//BG o, lo que es lo mismo, G está en BB' y por ende G es el punto de concurrencia de AA', BB', y CC'.
   

Mensaje modificado por Guz el Aug 23 2021, 11:01 PM