Tío Lagrange Opciones

[Laðeralus]

Maximice sujeto a

Valor del máximo:

Mensaje modificado por Laðeralus el Dec 17 2014, 12:24 PM

[Matriu]

[2.718281828]

Dejaré dos versiones: Estandar pero facil y olimpica (aka sin derivar).

Primero que todo, bastará con analizar para el caso en que los numeros sean todos positivos. Esto es por lo siguiente. Si , entonces, la funcion es positiva si el producto es claramente positivo, esto es, que a lo mas, haya una cantidad par de numeros negativos, de modo de que si fuese el punto que maximiza la función, donde cada , entonces cualquier combinación de numeros donde una cantidad par de signos son cambiados a - es un punto critico del sistema (OK habria que ver el Hessiano para comprobar pero es una fuckin paja), de hecho si la cantidad de signos es impar, resultará ser minimo, esto se demuestra cuando uno coloca valor absoluto a la funcion y el hecho de que cambio de signo no modifica la magnitud, solo el signo, de acuerdo a la cantidad, si par o impar, de signos que se han cambiado.

En segundo lugar, de lo anterior, si concentramos la atencion a los numeros no negativos, el producto es no nulo si en efecto ninguno es menor que 0 (Si, estoy basicamente repitiendo lo mismo), esto significa que nos concentramos en las coordenadas positivas, lo que permite reescribir el problema usando logaritmo en vez de una productoria.

En tercer lugar, si se definen variables tales que , tenemos que los son tales que pertenece a la esfera unitaria en R^n y la funcion objetivo es ahora . Lo que significa que el problema ahora es maximizar la funcion sujeto a , el cual es un problema clásico de optimización.

En Cuarto lugar, de los detalles anteriores, consideramos maximizar donde los , , por lo que es posible reescribir el problema como maximizar sujeto a .
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Solucion 1) Estandar con Lagrange. Definimos
Derivamos con respecto a cada y a (aunque esta ultima es mas que nada para ; el cual nos queda , lo que equivale a decir que , de donde sumando para todo i=1...n$ nos da y con ello tenemos que , es decir para todo . Luego tenemos que el punto que maximiza el producto es y el maximo de la funcion es PEEEEEROOOOO..... no es la funcion realmente, la verdadera funcion viene con el factor , del cual tenemos que es el valor maximo.

Solucion 2). Sin derivar. Esta viene directo de la desigualdad MA-MG aplicado a :

, donde la igualdad se alcanza si

Como hemos asumido que los numeros son positivos, se tiene que, y la igualdad se alcanza cuando las coordenadas son iguales, el cual nos lleva a que como en el primer caso. (y con ello se prueba que en efecto, ese punto es máximo).

Saludos.
Claudio.