Concurrencia Opciones

[vocin]

Durante un congreso de geometría, al joven Vocin se le puso como desafío definir un punto dentro de un triángulo de una manera relativamente simple, sin usar cosas raras. La propuesta de dicho muchacho fue:

"En un triángulo ABC, se eligen los puntos D y E en AB (más allá de B) y AC (más allá de C), de manera que DB=BC=CE. F es la intersección de CD y BE, formando la ceviana AF, que llamaremos ceviana de Vocin. Se definen de manera análoga cevianas de Vocin en los vértices B y C, que concurren en el centro de Vocin"

Sus compañeros y el resto de quienes participaban en dicha actividad se hicieron las siguientes preguntas:

i) Existe realmente el centro de Vocin? Es decir, las cevianas de Vocin concurren?
ii) En caso de ser cierta dicha aseveración, es realmente el centro de Vocin nuevo? o es sólo una manera complicada de construir el incentro, el circuncentro, u otro punto conocido?

[Kaissa]

Observación sin brillo: Si intercambiamos los vértices B y C de tu construcción y creamos la ceviana, obtendremos el punto de Gray.

Mensaje modificado por Kaissa el Dec 16 2014, 06:24 PM

[cev]

Usamos el T.Menelao sobre los triangulos ADC y la transversal BFE y BHC y la transversal AIG (y lo igualamos)



luego de simplificar queda,

, si enfocamos este resultado al triangulo DHC vemos que (se pude descubrir facil que ABFI es un paralelogramo)
Haciendo lo mismo en otros 2 pares de triangulos concluimos que y , entonces tenemos que y son perspectivos lo cual nos lleva a que sean concurrentes.
 paralelo.PNG ( 8.85k ) Número de descargas:  0

[vocin]

Hasta la penúltima línea está correcto, la parte final la verdad lo desconozco, ya que no se acerca de triángulos perspectivos y cosas así xD. De todas maneras (debido a quien escribe dicha solución) debe ser correcta xD.

Mi solución utiliza otra herramienta para la concurrencia, probablemente hoy la suba.

[cev]

No te preocupes (o si) pero yo tampoco entiendo mucho de "cosas asi" (Geometria Proyectiva) solo aplique el T. de Desargues. Pero mira de lo que no me di cuenta: al tener ABC y FIL lados paralelos tenemos que los triangulos son semejantes (en realidad son congruentes, da igual) pero fijate que como al vertice A le corresponde el F, etc. entonces al trazar AF, BI y CL tenemos el centro de homotecia de esta transformacion, creo que esa la entendemos todos.

[vocin]

Buenísima, gracias por la explicación

[S. E. Puelma Moy...]

Solución Parte 1

Sea X el punto de intersección de los segmentos AF y BC. Por el Teorema de Ceva:

Definiendo los puntos Y (en el lado CA) y Z (en el lado AB) análogamente, se tiene y . Aplicando el Teorema de Ceva, se concluye que AX, BY y CZ (las cevianas de Vocin) concurren =)

Para la Parte 2... el "centro de Vocin" es siempre interior al triángulo ABC, así que descartamos aquellos puntos de concurrencia que "a veces caen fuera" (ortocentro, circuncentro, centro de la circunferencia de Euler, son los únicos que vienen a mi mente ahora). Por la razón en que X, Y, Z dividen los lados del triángulo, descartamos también otros puntos "conocidos", como el centro de gravedad, el incentro, el punto de Gergonne y el punto de Nagel. Ahora no recuerdo otros puntos especiales =( esperamos que llegue Kaissa para que nos diga el nombre de ese punto o que lo bautice como el "punto de Kaissa".

[vocin]

En algún momento me dediqué a hacer el cálculo con baricéntricas para calcular sus coordenadas y buscarlo en la ETC (http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html), pero ya se me olvidó cuanto daba jajajja

[Pedantic Anarchy...]

odio a vocin

[pablo gauss]

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Mensaje modificado por pablo gauss el Dec 19 2020, 12:08 AM