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Trignometria, Fuente: Parartema Deltiou EME, Athens, Jan. - Feb. 1949

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pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 01:54 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Si $TEX: $$\omega \ne \theta$$$ y $TEX: $$\omega \ne k\pi +\theta$$$ ademas $TEX: $$a\sin \omega \sin \theta +b\cos \omega \cos \theta =0$$$ Pruebe que $TEX: $$\frac{1}{a\sin ^{2}\omega +b\cos ^{2}\omega }+\frac{1}{a\sin ^{2}\theta +b\cos ^{2}\theta }=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$$

XyipoxX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2015, 11:27 AM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 12-August 15 Miembro Nº: 139.677 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Estuve intentando hacer la demostración y no me salia, asi que probé con dos angulos puntuales que cumplen la condición dada $TEX: $ \omega \neq \theta $$ y $TEX: $ \omega \neq k \pi + \theta $$ , asi que ahi va un "contraejemplo" si es que no me equivoque en algo: Considerar $TEX: $\omega =\frac{\pi}{3}$$ y $TEX: $\theta = \frac{\pi}{4}$$ , entonces $TEX: $$\frac{1}{a\sin^2\omega + b\cos^2\omega} + \frac{1}{a\sin^2\theta + b\cos^2\theta} = \frac{1}{a\sin^2 \frac{\pi}{3} + b\cos^2 \frac{\pi}{3}} + \frac{1}{a\sin^2 \frac{\pi}{4} + b\cos^2 \frac{\pi}{4}}<br />$$$ $TEX: $$ = \frac{1}{\frac{3a}{4} + \frac{b}{4}} + \frac{1}{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} = \frac{4}{3a+b} + \frac{2}{a+b} = \frac{7a+6b}{(a+b)^2+2a^2} \neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b} $$$ Como la igualdad para los valores dados no se cumple, la identidad es falsa.

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2015, 01:10 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(XyipoxX @ Nov 24 2015, 11:27 AM) Estuve intentando hacer la demostración y no me salia, asi que probé con dos angulos puntuales que cumplen la condición dada $TEX: $ \omega \neq \theta $$ y $TEX: $ \omega \neq k \pi + \theta $$ , asi que ahi va un "contraejemplo" si es que no me equivoque en algo: Considerar $TEX: $\omega =\frac{\pi}{3}$$ y $TEX: $\theta = \frac{\pi}{4}$$ , entonces $TEX: $$\frac{1}{a\sin^2\omega + b\cos^2\omega} + \frac{1}{a\sin^2\theta + b\cos^2\theta} = \frac{1}{a\sin^2 \frac{\pi}{3} + b\cos^2 \frac{\pi}{3}} + \frac{1}{a\sin^2 \frac{\pi}{4} + b\cos^2 \frac{\pi}{4}}<br />$$$ $TEX: $$ = \frac{1}{\frac{3a}{4} + \frac{b}{4}} + \frac{1}{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} = \frac{4}{3a+b} + \frac{2}{a+b} = \frac{7a+6b}{(a+b)^2+2a^2} \neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b} $$$ Como la igualdad para los valores dados no se cumple, la identidad es falsa. Hola, tu no estas usando la cndicion inicial esto es facil si quieres algun hint solo pidelo ^^ Mensaje modificado por pprimo el Nov 24 2015, 01:36 PM

XyipoxX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2015, 03:16 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 12-August 15 Miembro Nº: 139.677 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	AAaaahh cierto, mansa pifia... Mira, al desarrollar la parte izquierda de la igualdad llego a algo como esto $TEX: $$ \frac{a(\sin \omega - \sin \theta)^2+b(\cos\omega -\cos\theta)^2}{ab\sin^2(\omega-\theta)} $$$ Seguire intentando...

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 24 2015, 03:24 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	como hint prueba usando la condicion inicial, la arreglas y la insertas en el lado izquierdo de la igualdad y llegaras despues de un trabajo al lado derecho ^^

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 31 2017, 01:49 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Veamos que<br />$$\frac{1}{a\sin ^{2}\omega +b\cos ^{2}\omega }+\frac{1}{a\sin ^{2}\theta +b\cos ^{2}\theta }=\frac{\sec^{2}{\omega}}{a\tan^{2}{\omega}+b}+\frac{\sec^{2}{\theta}}{a\tan^{2}{\theta}+b}$$ Por la relación de enunciado sabemos que $\tan^{2}{\omega}=\dfrac{b^2}{a^2\tan^{2}{\theta}}$, luego:<br /><br />$$\frac{\sec^{2}{\omega}}{a\tan^{2}{\omega}+b}+\frac{\sec^{2}{\theta}}{a\tan^{2}{\theta}+b}=\frac{\sec^{2}{\omega}}{a \frac{b^2}{a^2\tan^{2}{\theta}}+b}+\frac{\sec^{2}{\theta}}{a\tan^{2}{\theta}+b}= \frac{a\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\omega}}{b(a\tan^{2}{\theta}+b)}+\frac{\sec^{2}{\theta}}{a\tan^{2}{\theta}+b}$$ $$=\frac{1}{a\tan^{2}{\theta}+b}\left(\frac{a}{b}\tan^{2}{\theta}\sec^{2}{\omega}+\sec^{2}{\theta}\right)=\frac{1}{a\tan^{2}{\theta}+b}\left(\frac{a}{b}\tan^{2}{\theta}(1+\tan^{2}{\omega})+1+\tan^{2}{\theta}\right)$$ $$=\frac{1}{a\tan^{2}{\theta}+b}\left(\frac{a}{b}\tan^{2}{\theta}+\frac{a}{b}\tan^{2}{\theta}\tan^{2}{\omega}+1+\tan^{2}{\theta}\right)=\frac{1}{a\tan^{2}{\theta}+b}\left(\frac{a}{b}\tan^{2}{\theta}+\frac{b}{a}+1+\tan^{2}{\theta}\right)$$ $$=\frac{1}{a\tan^{2}{\theta}+b}\left(\frac{a^{2}\tan^{2}{\theta}+b^2 + ab+ab\tan^{2}{\theta}}{ab}\right)=\frac{1}{a\tan^{2}{\theta}+b}\left(\frac{(a\tan^{2}{\theta}+b)(a+b)}{ab}\right)$$ $$=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \blacksquare$$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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