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¿Qué es FMAT?

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otro mas, propuesto

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 08:32 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Se definen los números $TEX: $a_{1}, a_{2} ,a_{3}, ...$$ mediante $TEX: $a_{1}=\sqrt{2}$$ y $TEX: $a_{n+1}=\sqrt{2a_{n}}$$ . Demostrar que $TEX: $a_{n}<2$$ para todo $TEX: $n$$ . --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 10:36 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Deducir que $TEX: $$a_{n+1}=\sqrt{2a_{n}}=\sqrt{2\sqrt{2\cdot ...\cdot \sqrt{2}}}=\sqrt[2^{n+1}]{2^{2^{n+1}-1}}$$$ Mensaje modificado por pprimo el Dec 15 2014, 10:38 AM

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 11:31 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	por induccion lo que dijo pprimo CITA pprimo Escrito el Hoy, 10:36 AM Deducir que $TEX: $a_{n+1}=\sqrt{2a_{n}}=\sqrt{2\sqrt{2\cdot ...\cdot \sqrt{2}}}=\sqrt[2^{n+1}]{2^{2^{n+1}-1}}$$ por induccion $TEX: $\sqrt[2^{n}]{(2^{2^{n}-1})\sqrt{2}}=\sqrt[2^{n}]{\sqrt{(2^{(2^{n}-1)2}})\sqrt{2}}=\sqrt[2^{n}]{\sqrt{(2^{(2^{n+1}-2)}})\sqrt{2}}=\sqrt[2^{n}]{\sqrt{(2^{(2^{n+1}-2)})(2)}}=\sqrt[2^{n+1}]{2^{2^{n+1}-1}}$$ ufff creo que se podia abreviar salu

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 11:33 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ya, está bien, pero hay una solución mucho más corta y sólida que eso, se espera... --------------------

Felele Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 12:21 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 141 Registrado: 9-December 12 Miembro Nº: 114.238 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Caso base: $TEX: $a_{1}=\sqrt{2}< 2$$ $TEX: $a_{2}=\sqrt{2\sqrt{2}}=2^{3/4}< 2$$ Ahora asumamos que (hipotesis inductiva) : $TEX: $a_{n}<2$$ Por demostrar que : $TEX: $a_{n+1}<2$$ Dado que $TEX: $a_{n+1}=\sqrt{2a_{n}}$$ , entonces $TEX: $a_{n}$$ es positivo para todo n. Ahora tomando nuestra hipotesis inductiva: $TEX: $a_{n}<2 \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}<\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2a_{n}}<2 \Leftrightarrow a_{n+1}<2$$ Con lo que queda demostrado por induccion.

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 12:21 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	whoops supongo que eso esta mas corto, aun que sin el uso de induccion, expresarlo como prog geometrica me parece que tambien estaria entretenido Mensaje modificado por alonc el Dec 15 2014, 12:39 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 15 2014, 01:08 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Felele @ Dec 15 2014, 12:21 PM) Caso base: $TEX: $a_{1}=\sqrt{2}< 2$$ $TEX: $a_{2}=\sqrt{2\sqrt{2}}=2^{3/4}< 2$$ Ahora asumamos que (hipotesis inductiva) : $TEX: $a_{n}<2$$ Por demostrar que : $TEX: $a_{n+1}<2$$ Dado que $TEX: $a_{n+1}=\sqrt{2a_{n}}$$ , entonces $TEX: $a_{n}$$ es positivo para todo n. Ahora tomando nuestra hipotesis inductiva: $TEX: $a_{n}<2 \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}<\sqrt{2}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2a_{n}}<2 \Leftrightarrow a_{n+1}<2$$ Con lo que queda demostrado por induccion. bien ! --------------------

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