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MAT 1216 - Examen, Lic y Ped en matemática

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Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 7 2014, 05:41 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	EXAMEN MAT1216 Introducción al Álgebra Lineal $TEX: \noindent 1. Encuentre TODAS las matrices $M = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$ que conmutan con $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$, es decir que satisfacen $AM=MA$ \\ <br /><br />\noindent 2. a) Sea $A$ una matriz de $n \times n$. Mostrar que la dimensión del kernel de A es igual a la dimensión del kernel de $A^t$. \\ <br />b) Mostrar que no existen matrices invertibles $X,Y,Z$ tales que $det(YXZ^3)=1$, $det(X^2YZ^4)=2$ y $det(X(YZ)^{-1})=3$. \\<br /><br />\noindent 3. Verdadero o falso. Justificar en ambos casos. <br />a)Existe transformación lineal $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ tal que $T(1,0,0) = (1,2,1)$, $T(0,0,1)=(1,1,1)$ y $ker(T)$ tiene dimensión 1. <br />\\ <br />b)Existe simetría de $S:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $ tal que las rectas $ \{(a,2a,3a): a \in \mathbb{R} \}$ y $\{ (2b,b-b): b \in \mathbb{R} \} $ van a las rectas $\{ (c,c,c): c \in \mathbb{R} \}$ y $\{ (d,-d,2d): d \in \mathbb{R} \}$ respectivamente. \\<br /><br />\noindent 4. Sea $A$ una matriz real simétrica de $ n \times n $ tal que $A^k=0$ para algún $k$. Mostrar que $A=0$. \\ <br /><br />\noindent 5.Demuestre que la cónica \begin{center}$ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+axy+by^2=0 \} $\end{center} es una unión de dos rectas distintas si y sólo si $a^2>4b$. \\<br /><br />\noindent 6. Sea $A$ una matriz real de $n \times n$ \\<br />a) Mostrar que $A^tA$ es diagonalizable \\<br />b) Mostrar que $ker(A)=ker(A^tA)$$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata