Propuesto 17 - Foro fmat.cl

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Propuesto 17, [Resuelto por ironfrancisco]

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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2007, 05:16 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aclaro que el problema no es mío... fue propuesto por el usuario Toramatsu (créditos para el autor del tema) Use el método de inducción, para demostrar la siguiente proposición, para todo $TEX: $n\in\mathbb N$$ $TEX: $x^{2n}-y^{2n}\textrm{ es divisible por }x-y$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2007, 10:03 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent $\boxed{\mathcal{D}emostracion}$\\<br />\\<br />p.d.q. $\forall n \in \mathbb N$, $(x-y)$ divide a $x^{2n}-y^{2n}$\\<br />\\<br />$\fbox{Para n=1}$\\<br />\\<br />$(x^{2\cdot 1}-y^{2\cdot 1})=(x^2-y^2)=(x+y)(x-y) \Longleftrightarrow (x-y)\|(x^2-y^2)$\\<br />\\<br />$\fbox{Hipotesis Inductiva}$\\<br />\\<br />Supongamos que para algun $n$ se tiene que:\\<br />\\<br />$(x-y)\|(x^{2n}-y^{2n})$\\<br />\\<br />$\fbox{Paso Inductivo}$\\<br />\\<br />$(x^{2n+1}-y^{2n+1})=x^{2n+1}-yx^{2n}+yx^{2n}-y^{2n+1}$\\<br />\\<br />$=x^{2n}(x-y)+y(x^{2n}-y^{2n})$\\<br />\\<br />Pero sabemos por Hipotesis Inductiva que:\\<br />\\<br />$(x-y)\|(x^{2n}-y^{2n})$; entonces tenemos suma de dos cantidades que son divisibles por $(x-y)$, por lo tanto se tiene que el resultado de esta suma tambien es divisible por $(x-y)$.\\<br />\\<br />$(x-y)\|(x^{2n+1}-y^{2n+1})$\\<br />\\<br />$\boxed{\mathcal{Q}\mathcal{E}\mathcal{D}}$\\<br />$ Ojalá no me haya equivocado xD Saludos -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

Rattlehead_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 25 2008, 05:45 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 428 Registrado: 19-July 07 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 7.679 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Disculpen que postee en un problema antiguo y mas encima en problemas "resueltos" Pero, note que Ironfrancisco tiene un error en su demostracion a pesar de haber llegado al resultado pedido Ya que el parte la tesis con $TEX: $x^{2n+1}-y^{2n+1}$$ cuando lo correcto seria: $TEX: $x^{2(n+1)}-y^{2(n+1)}=x^{2n+2}-y^{2n+2}$$ entonces pondre mi solucion al problema, omitiendo el caso base que ya fue demostrado $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> H.I:x^{2n} - y^{2n} = (x - y)m,{\text{ }}m \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> P.D.Q:x^{2(n + 1)} - y^{2(n + 1)} {\text{ es divisible por }}(x - y) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> x^{2(n + 1)} - y^{2(n + 1)} \hfill \\<br /> = x^{2n + 2} - y^{2n + 2} \hfill \\<br /> = x^{2n} x^2 - y^{2n} y^2 \hfill \\<br /> = \left( {x^{2n} x^2 - y^{2n} x^2 } \right) + y^{2n} x^2 - y^{2n} y^2 \hfill \\<br /> = x^2 \underbrace {\left( {x^{2n} - y^{2n} } \right)}_{H.I} + y^{2n} \left( {x^2 - y^2 } \right) \hfill \\<br /> = mx^2 (x - y) + y^{2n} (x + y)(x - y) \hfill \\<br /> = \left( {x - y} \right)\underbrace {\left( {mx^2 + y^{2n} (x + y)} \right)}_k \hfill \\<br /> = (x - y)k{\text{ k}} \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> q.e.d \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Entonces es divisible por (x-y) PD: Si yo estoy equivocado, ruego que me disculpen -------------------- "Las Matematicas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo"

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 25 2008, 07:10 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	Tienes razon. salu2

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