Aplicando lo aprendido en un problema de clases...

Aplicando lo aprendido en un problema de clases..., Resuelto por Corecrasher [básico]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 6 2005, 05:41 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno..como ya se acordaran,en la clase pasada di unos problemas y quizas se me paso la mano con algunos de ellos asi que ahora iremos mas poco a poco desarrollando ciertas intuiciones nuevas...y aca partimos con un problema muy sencillo relacionado con el tema. Muestre que en cualquier conjunto de n enteros,existe un subconjunto en que la suma de sus elementos es divisible por n. Espero soluciones...suerte -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

sitronco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 30 2006, 05:57 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 55 Registrado: 26-May 05 Desde: Santiago Miembro Nº: 58	Kenshin, no entiendo bien el enunciado. porque si tomo el conjutno {0,2,5} el n es 3 y no hay subconjuntos divisibles por 3....no entiendo

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 30 2006, 06:07 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(sitronco @ Jan 30 2006, 07:57 PM) Kenshin, no entiendo bien el enunciado. porque si tomo el conjutno {0,2,5} el n es 3 y no hay subconjuntos divisibles por 3....no entiendo Y el 0? El 0 es divisible por cualquier entero distinto de 0. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

sitronco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 30 2006, 07:10 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 55 Registrado: 26-May 05 Desde: Santiago Miembro Nº: 58	JAJjajajaj....se me paso.....

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2006, 10:57 AM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Hint: Sean $TEX: $x_1,x_2,...,x_n\in\mathbb{Z}$$ los elementos del conjunto. Consideren: $TEX: $S_1=x_1$$ $TEX: $S_2=x_1+x_2$$ $TEX: $S_3=x_1+x_2+x_3$$ ..................................... $TEX: $S_n=x_1+x_2+x_3+....+x_n$$ y consideren los posibles restos al dividir por n. PD:Este problema tiene un argumento muy similar(igual ) a un problema de la final de la Olimpiada Nacional de Matematicas(Nivel Menor,2005) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Corecrasher	Mar 26 2006, 01:29 AM Publicado: #6
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}}$$ Sean $TEX: $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{Z}$$ los elementos del conjunto dado , consideremos: $TEX: $S_1=x_1$$ $TEX: $S_2=x_1+x_2$$ $TEX: $S_3=x_1+x_2+x_3$$ ..................................... $TEX: $S_n=x_1+x_2+x_3+....+x_n$$ Si cada una de las sumas anteriores deja un resto diferente en $TEX: $(mod.n)$$ esta claro que una de ellas sera divisible por $TEX: $n$$ , ahora bien , si almenos dos de estas sumas tienen igual resto en $TEX: $(mod.n)$$ entonces se tendran $TEX: $j,i \in \mathbb{Z}$$ con $TEX: $j,i < n$$ y sin perder generalidad $TEX: $j > i$$ entonces $TEX: $a_1+...+a_i+a_{i+1}+...+a_j \equiv a_1+...+a_i (mod.n) \Rightarrow a_{i+1}+...a_j \equiv 0 (mod.n)$$ , luego la conclusion es directa

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2007, 11:06 PM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Corecrasher @ Mar 26 2006, 03:29 AM) $TEX: $\boxed{\mathcal{S}}$$ Sean $TEX: $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{Z}$$ los elementos del conjunto dado , consideremos: $TEX: $S_1=x_1$$ $TEX: $S_2=x_1+x_2$$ $TEX: $S_3=x_1+x_2+x_3$$ ..................................... $TEX: $S_n=x_1+x_2+x_3+....+x_n$$ Si cada una de las sumas anteriores deja un resto diferente en $TEX: $(mod.n)$$ esta claro que una de ellas sera divisible por $TEX: $n$$ , ahora bien , si almenos dos de estas sumas tienen igual resto en $TEX: $(mod.n)$$ entonces se tendran $TEX: $j,i \in \mathbb{Z}$$ con $TEX: $j,i < n$$ y sin perder generalidad $TEX: $j > i$$ entonces $TEX: $a_1+...+a_i+a_{i+1}+...+a_j \equiv a_1+...+a_i (mod.n) \Rightarrow a_{i+1}+...a_j \equiv 0 (mod.n)$$ , luego la conclusion es directa Solución correctísima. Fíjense que este método es muy útil, como dijo Kenshin es el mismo argumento del (si no me equivoco) P6 de la Final Nacional Nivel Menor 2005, así que deben manejarlo al revés y al derecho . Felicitaciones Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

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