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II Campeonato Inter-Escolar de Matemática, Nivel 3° Medio individual

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 03:00 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	II CAMPEONATO INTER-ESCOLAR DE MATEMÁTICA Liceo de aplicación, Santiago, 2014 Primera prueba (8 de noviembre): Problema 1: En la siguiente figura, el ángulo $TEX: \( BAC \)$ mide $TEX: \( 20° \)$ , además $TEX: \( AB=AC \)$ y $TEX: \( AD=BC \)$ . ¿Cuánto mide el ángulo ACD? Problema 2: Sea $TEX: $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{N}$$ una función que satisface las siguientes condiciones: $TEX: $\forall m,n\in\mathbb{Z}^+:f(mn)=f(m)+f(n)$$ $TEX: $f(n)=0$$ , si la cifra de las unidades de $TEX: $n$$ es 3 $TEX: $f(10)=0$$ Determine el valor de $TEX: $f(1985)$$ Segunda prueba (15 de noviembre): Problema 1: En la siguiente figura, demuestre que $TEX: \( AB=2DE \)$ Problema 2: Se definen los números $TEX: \( x \)$ e $TEX: \( y \)$ como $TEX: \( \displaystyle x=m+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ m+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ ... } } } } \)$ y $TEX: \( \displaystyle y=1+\frac { 1 }{ n+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ n+\frac { 1 }{ ... } } } } \)$ Calcule el valor de la expresión $TEX: \( \displaystyle R=\frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ x+1 } -\frac { { y }^{ 2 }-y+1 }{ y(y-1) } \)$ si $TEX: \( m\neq n \)$ Mensaje modificado por vocin el Nov 16 2014, 03:01 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 03:53 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	2da prueba, P2 x se puede reducir a: $TEX: $x=m+\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\Longrightarrow \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}=m$$ de la misma forma para y $TEX: $y=1+\dfrac{1}{n+\frac{1}{y}}\Longrightarrow \dfrac{1}{y(y-1)}=n$$ desarrollando un poco la expresión: $TEX: $R=\left(\dfrac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ x+1 }\right) -\left(\dfrac { { y }^{ 2 }-y+1 }{ y(y-1) }\right)$$ $TEX: $R=\left(\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}+1\right)-\left(1+\dfrac{1}{y(y-1)}\right)$$ $TEX: $R=(m+1)-(1+n)=m-n$$ Mensaje modificado por juancodmw el Nov 16 2014, 03:53 PM --------------------

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 05:25 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	1ra prueba, P2 tomando $TEX: $f(mn)=f(m)+f(n)$$ para $TEX: $f(10)$$ , se tiene: $TEX: $f(10)=f(2)+f(5)\Longrightarrow f(5)=-f(2)$$ claramente aca $TEX: $f(5)$$ y $TEX: $f(2)$$ están obligados a ser 0, de lo contrario no se nos cumpliría el recorrido de la función luego: $TEX: $f(1985)=f(397\cdot 5)=f(397)+f(5)=f(397)$$ aca intentaremos transformar el 397 a una cifra con un 3 al final: $TEX: $f(397\cdot 9)=f(397)+f(9)=0$$ $TEX: $f(9)=f(3)+f(3)=0$$ luego, se concluye: $TEX: $f(397)=0=f(1985)$$ Mensaje modificado por juancodmw el Nov 16 2014, 05:26 PM --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 05:36 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Correctas ambas. El p2 de la primera prueba corresponde al P5 Ibero 1985; lo menciono porque en Fmat está publicado como variante al P5 probar que para todo natural, f(n)=0 -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

felipemed Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 08:15 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 529 Registrado: 28-May 12 Desde: Chile Miembro Nº: 106.591 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Nov 16 2014, 05:25 PM) 1ra prueba, P2 tomando $TEX: $f(mn)=f(m)+f(n)$$ para $TEX: $f(10)$$ , se tiene: $TEX: $f(10)=f(2)+f(5)\Longrightarrow f(5)=-f(2)$$ claramente aca $TEX: $f(5)$$ y $TEX: $f(2)$$ están obligados a ser 0, de lo contrario no se nos cumpliría el recorrido de la función luego: $TEX: $f(1985)=f(397\cdot 5)=f(397)+f(5)=f(397)$$ aca intentaremos transformar el 397 a una cifra con un 3 al final: $TEX: $f(397\cdot 9)=f(397)+f(9)=0$$ $TEX: $f(9)=f(3)+f(3)=0$$ luego, se concluye: $TEX: $f(397)=0=f(1985)$$ Buena! -------------------- “Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.” ― Albert Einstein

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2014, 04:51 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	2da prueba, P1 llamemos, $TEX: $AB=x$$ , $TEX: $AC=y$$ , $TEX: $EC=k$$ y $TEX: $ED=z$$ , con Euclides se obtiene inmediatamente que: $TEX: $DC=\sqrt{ky}$$ con esto, aplicamos lo siguiente: $TEX: $\sin{(2\alpha)}=\dfrac{x}{y}$$ $TEX: $\sin{(\alpha)}=\dfrac{z}{\sqrt{ky}}$$ $TEX: $\cos{(\alpha)}=\dfrac{k}{\sqrt{ky}}$$ se sabe que: $TEX: $\sin{(2\alpha)}=2\sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)}$$ , por tanto reemplazamos: $TEX: $\dfrac{x}{y}=2\cdot \dfrac{z}{\sqrt{ky}}\cdot \dfrac{k}{\sqrt{ky}}\Longrightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{2zk}{ky}\Longrightarrow x=2z$$ con esto ultimo concluimos que: $TEX: $AB=2ED$$ edit: error de tipeo q no había cachado xdd (igual, no afecta en nada) Mensaje modificado por juancodmw el Dec 13 2014, 01:40 PM --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2014, 05:03 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Nov 30 2014, 05:51 PM) 2da prueba, P1 llamemos, $TEX: $AB=x$$ , $TEX: $AC=y$$ , $TEX: $EC=k$$ y $TEX: $ED=z$$ , con Euclides se obtiene inmediatamente que: $TEX: $DC=\sqrt{ky}$$ con esto, aplicamos lo siguiente: $TEX: $\sin{(2\alpha)}=\dfrac{x}{y}$$ $TEX: $\sin{(\alpha)}=\dfrac{z}{\sqrt{ky}}$$ $TEX: $\sin{(\alpha)}=\dfrac{k}{\sqrt{ky}}$$ se sabe que: $TEX: $\sin{(2\alpha)}=2\sin{(\alpha)}\cos{(\alpha)}$$ , por tanto reemplazamos: $TEX: $\dfrac{x}{y}=2\cdot \dfrac{z}{\sqrt{ky}}\cdot \dfrac{k}{\sqrt{ky}}\Longrightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{2zk}{ky}\Longrightarrow x=2z$$ con esto ultimo concluimos que: $TEX: $AB=2ED$$ Esa fue mi primera solución en la prueba; luego se me ocurrió otra que no utiliza trigo -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 30 2014, 05:11 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Nov 30 2014, 05:03 PM) Esa fue mi primera solución en la prueba; luego se me ocurrió otra que no utiliza trigo cuando lo vi por 1ra vez me comían las manos por meterle trigo, pero preferí intentar con geo y me fui a la cresta xd --------------------

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2014, 09:50 AM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La Variante al P5 de vocin $TEX: $f(n)=0$$ (supongo que esta resuelta en alguna parte del foro pero no la encuentro) Para probarlo lo hice de manera que puedo demostrar que cuando un numero termine en un digito el resultado de la f(x) sea 0 sabemos $TEX: $f(n)=0$$ si el ultimo digito de $TEX: $n$$ es 1 $TEX: $( f(...1)+f(3)=f(....3)=0 )$$ , $TEX: $3$$ (por enunciado), $TEX: $7$$ (demostrado por juancodmw CITA aca intentaremos transformar el 397 a una cifra con un 3 al final: $TEX: $f(397\cdot 9)=f(397)+f(9)=0$$ $TEX: $f(9)=f(3)+f(3)=0$$ por congruencia en mod 10 lo demostramos para cualquier numero que termine en 7) $TEX: $9$$ $TEX: $ (f(...9)+f(7)=f(....3)=0$$ una vez determinado para estos numeros tomamos los pares todos los números pares están multiplicados por una cantidad finita de $TEX: $2$$ s (por el TFA) y al dividirlos por todos esos $TEX: $2$$ s (que no afectan ya que $TEX: $f(2n)=f(2)+f(n)=0+f(n)=f(n)$$ ) y al quitar todos los 2s que tenga como factores el $TEX: $n$$ vamos a llegar a un resultado con su ultimo digito impar, o el numero no va a tener factores impares, en caso de que si tenga factores impares la ultima cifra del $TEX: $n$$ va a ser: $TEX: $1, 3, 7, 9$$ y los números terminados en esos dígitos tienen resultado $TEX: $0$$ y si el numero termina en $TEX: $5$$ va ser divisible por $TEX: $5$$ por que obtendremos nuevamente un resultado con su ultimo dígito impar distinto de $TEX: $5$$ (podemos dividirlo por 5 ya que $TEX: $f(...5)=f(5q)=f(5)+f(q)=f(q)+0=f(q)$$ ) ( $TEX: $f(5)=0$$ tambien demostrado por juancodmw) y así podemos deducir que todas las funciones $TEX: $f(n)$$ tendrán como resultado 0 (espero que se entienda, mi redacción es horrible ) Salu

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2014, 11:59 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	En esencia está correcta la solución. La redacción deja bastante que desear, aunque eso es sólo práctica (cada cierto tiempo escribo soluciones que dan ganas de quemarlas xD). La variante al P5 está en el Foro, en http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=934 Saludos -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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