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![]() Staff Fmat ![]() Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
38ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Mar del Plata, Argentina, 1997 Primera Prueba: Jueves 24 de julio de 1997 Problema 1: Considere los puntos de coordenadas enteras en el plano como los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro (como un tablero de ajedrez). Para cada par ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 2: El ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 3: Sean ![]() • ![]() • ![]() Pruebe que existe una permutación ![]() ![]() ![]() Segunda Prueba: Viernes 25 de julio de 1997 Problema 4: Una matriz ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 5: Encuentre todos los pares de enteros ![]() ![]() ![]() Problema 6: Para cada ![]() ![]() ![]() Las representaciones que difieren únicamente en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo ![]() ![]() Demuestre que para cada entero ![]() ![]() Resumen de soluciones -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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![]() Staff Fmat ![]() Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Creo haber visto este problema en el foro, y la solución también... por eso tal vez me salió rápido, mi mente tendría asimilada la solución... pero es un problema de la IMO, y me sentí bien al hacerlo
![]() Problema 2: El ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Solución al problema 2 ![]() ![]() Saludos ![]() -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)
"A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös) |
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Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 8-March 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 4.388 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Esta bien , felicidades, y tienes razon , es un problema de IMO y si bien era bien facil, muchos no lo sacaron. Yo creo que cuando uno esta en una olimpiada asi de importante, no solo la calidad de los problemas y de tus habilidades cuentan, un poco de todo. Yo hice este problema, y lo hice en los ultimos 10 minutos de esa prueba pues al verlo crei que era dificil, y trate, en vano de sacar puntos en el 1.... cuando vi que el tiempo se acababa hice un buen dibujo del probema 2 y los triangulos isosceles aparecieron... es bueno siempre hacer un buen dibujo a mano, no se mal acostumbren con los PC's.
-------------------- MP11
www.math.u-psud.fr/~ponce |
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Publicado:
#4
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![]() Dios Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Aqui pongo la solución que yo le di a ese problema. No creo q sea la solución mas corta, pero al menos salio de mi cabeza
![]() Solución Problema 2: ![]() ![]() Saludos Nota: No detalle mucho como se van concluyendo algunos pasos, por cosa de tiempo (confio en el esmero del atento lector ![]() ![]() |
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Publicado:
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
He aquí mi solución para el problema 5. Tampoco puedo prometer que es la solución más corta. De hecho, creo que la redacción está bastante enredada y eso significa que cada lector debe estar sumamente atento.
Me avisan en caso que encuentren algún error de tipeo. MCD = Máximo Común Divisor. Solución Problema 5 Si a=1, entonces ![]() ![]() ![]() ![]() Todo número ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Afirmación: Sean t,u,v,w,x,y,z enteros positivos tales que ![]() ![]() ![]() Demostración: Aplicando esta afirmación en el problema, se concluye que ![]() ![]() ![]() Caso 1: ![]() Entonces ml2n-m=n. Escribiendo p=l2n-m (entero positivo), se tiene que mp=n, entonces: ![]() Entonces m=nlm-2n. Escribiendo q=lm-2n, se tiene que q es entero positivo, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Esto significa que n=1, en cualquier caso, entonces ![]() ![]() Si ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() { (1,1) , (16,2) , (27,3) } -------------------- |
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 2: El ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Los detalles se dejan a cargo del lector. Saludos -------------------- Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. ![]() Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:
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Publicado:
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![]() Maestro Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Pal 2
Saludos :* Mensaje modificado por asdayuyi el Jan 25 2014, 11:02 PM |
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