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> Súper Palomar
Luffy
mensaje Nov 8 2014, 07:00 PM
Publicado: #1


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Pruebe que dada cualquier sucesión de números reales TEX: $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, existe TEX: $x\in \mathbb{R}$ tal que :

TEX: $x+a_1, x+a_2, ...., x+a_n, ...$

son todos irracionales.
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nmg1302
mensaje Nov 9 2014, 04:38 PM
Publicado: #2


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TEX: Lo que se pide demostrar es equivalente a <br />$$\bigcap_{n\in \mathbb N}(\mathbb I - a_n) \not= \phi$$<br />Notemos que $\mathbb I$ es denso y ademas <br />$$\mathbb I = \bigcap_{q\in \mathbb Q} \mathbb R \setminus \{q\}$$<br />por lo tanto $\mathbb I$ es $G_\delta$ denso en $\mathbb R$ y también lo son<br />$\mathbb I - a_n$. De el Teorema de Baire se deduce que <br />$$\bigcap_{n\in \mathbb N}(\mathbb I - a_n) $$ es denso y en particular no vacío.<br />Lo que nos dice que no solo existe $x$ que cumple la propiedad, ademas los $x$ que la cumplen son densos.<br />

Mensaje modificado por nmg1302 el Nov 9 2014, 05:47 PM
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Luffy
mensaje Nov 9 2014, 11:19 PM
Publicado: #3


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Más fácil es ver que el complemento es numerable.

Saludos!
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nmg1302
mensaje Nov 10 2014, 09:01 AM
Publicado: #4


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CITA(Luffy @ Nov 10 2014, 01:19 AM) *
Más fácil es ver que el complemento es numerable.

Saludos!

Tienes razon, asi es mucho mas facil y elemental.

TEX: Lo que se pide demostrar es equivalente a <br />$$\bigcap_{n\in \mathbb N}(\mathbb I - a_n) \not= \phi$$<br />o, lo que es lo mismo tomando complemento<br />$$\bigcup_{n\in \mathbb N}(\mathbb Q - a_n) \not= \mathbb R$$<br />pero el conjunto de la izquierda es union numerable de numerables y por lo tanto es numerable(asumiendo el axioma de eleccion numerable) y $\mathbb R$ es no numerable por lo que no pueden ser iguales.<br />

Mensaje modificado por nmg1302 el Nov 10 2014, 09:02 AM
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Luffy
mensaje Nov 11 2014, 12:26 AM
Publicado: #5


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Buena! Ahora te invito a resolver este problema http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=904...mp;#entry696774 de forma más elemental. despertador.gif
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Porlapucha
mensaje Nov 25 2014, 01:14 PM
Publicado: #6


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Otra forma de verlo puede ser notando que el TEX: $\mathbb{Q}$-espacio vectorial generado por TEX: $\{1,a_1,...,a_n\}$ es numerable, luego todos los TEX: $x$ que están fuera de este espacio cumplen lo pedido, desde este punto de vista la razón de la densidad de los TEX: $x$ viene del echo que el espacio vectorial no contiene intervalos (ya que se contradeciría la numerabilidad).

¡Bonito resultado!, saludos.
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