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> Selectivo IMO Bulgaria, 1987
Luffy
mensaje Nov 8 2014, 06:52 PM
Publicado: #1


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Sea TEX: $k>1$ un número entero. Pruebe que existe un primo TEX: $p$ y una sucesión creciente de enteros positivos TEX: $0<a_1<a_2<...<a_n<...$ tal que:

TEX: $p+ka_1, p+ka_2, ..., p+ka_n, ...$

son todos primos.

Suerte! egresado.gif
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Pedantic Anarchy...
mensaje Nov 29 2014, 09:36 AM
Publicado: #2


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TEX: Lo pedido es equivalente a encontrar un conjunto infinito de primos cuya diferencia sea siempre divisible por k. Para esto veamos que si $r_1,r_2,....r_{\phi (k)}$ son los restos $(mod k)$ que son coprimos con k, entonces podemos particionar los numeros coprimos con $k$ en los conjuntos $A_i=\{x\in \mathbb {N}|x\equiv r_i(mod k)\}$ , luego como todos los numeros primos estan en alguno de estos conjuntos se tiene que al menos uno de estos conjuntos tiene una cantidad infinita de primos, considerando los primos pertenecientes a este conjunto se sigue el problema, puesto que por construccion su diferencia siempre es divisible por $k$.

Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el Nov 29 2014, 09:37 AM


--------------------
yo no soy especial
a pesar que ella lo dijo
tengo unos krk
y un celular hechizo
aún vácilo SFDK en el segundo piso
y la frase final
da igual
la improviso
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Luffy
mensaje Nov 29 2014, 12:03 PM
Publicado: #3


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Respuesta correcta!!! winner_1st.gif

Felicidades aresueltos.gif
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