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Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2014, 06:03 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	V Jornada Interescolar de Matemáticas Primera Prueba Martes 21 de Octubre de 2014 Problema 1: Un gran terremoto azota la zona central del país, Harald Cronopius despierta de un sobresalto, y luego de esperar a que amainara, se las arregla para verificar el estado de su cada, todo estaba sin muchos daños, excepto por el reloj favorito de su abuelo, al cual desgraciadamente se la habían caído todos los números. Dada la penumbra reinante, Harald no logra poner los números en su posición original, sin embargo se da cuenta de algo, de cualquier forma en que ponga los números en el reloj, siempre habrá uno que al sumarle los dos números que quedan a sus lados, el resultado será mayor o igual a 20. Refute o afirme con detalle la afirmación de nuestro amigo. Problema 2: Resuelva en los enteros no negativos la ecuación: $TEX: $x^3+2y^3=4z^3$$ Problema 3: Dos triángulos semejantes que comparten la longitud de dos de sus lados¹, ¿Son necesariamente congruentes? Justifique su respuesta. ¹ Considere al primer triángulo como $TEX: $\overline{ABC}$$ y al segundo como $TEX: $\overline{DEF}$$ , la hipótesis es que (por ejemplo) $TEX: $AB=EF$$ y $TEX: $BC=FD$$ Segunda Prueba Miércoles 22 de Octubre de 2014 Problema 4: Sean $TEX: $a,b,c$$ los lados de un triángulo. Demuestre que: $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} < 2$$ Problema 5: Sea $TEX: $n\geq 2$$ con $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ y $TEX: $A=\{ a_1,a_2,...,a_{n+1} \}$$ un conjunto de números enteros donde: $TEX: $1\leq a_1 < a_2 < ... < a_n < a_{n+1} \leq 2n-1$$ Muestre que existen tres números en $TEX: $A$$ tales que uno es suma de los otros dos. En otras palabras, existen $TEX: $k,m,l \in \{ 1,2,...,n+1\}$$ tales que: $TEX: $a_k=a_l+a_m$$ Problema 6: Supóngase que tenemos cinco puntos en el plano, tal que no hay tres de ellos colineales. Pruebe que siempre se pueden elegir cuatro puntos que formen un cuadrilátero convexo. Tiempo: 3 horas 50 minutos para cada prueba Mensaje modificado por Niklaash el Oct 22 2014, 06:33 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2014, 06:11 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	El P4 es mejorable, la denominada desigualdad de Nesbitt. El P6 me suena de una nacional, voy a echarle una mirada -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2014, 06:25 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Nesbitt dice que todo eso que esta ahi es mayor o igual a 3/2, ahi esta al revés pd: el p2 es de una nacional xd Saludos Mensaje modificado por Niklaash el Oct 22 2014, 06:28 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2014, 06:43 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Oct 22 2014, 07:25 PM) Nesbitt dice que todo eso que esta ahi es mayor o igual a 3/2, ahi esta al revés pd: el p2 es de una nacional xd Saludos Ohhhh verdad, que ciego, obligado a hacerlo para no quedar sucio Utilizaremos la ya clásica sustitución $TEX: \( a=x+y, b=y+z, c=z+x \)$ con $TEX: \( x, y, z \)$ reales positivos. Tenemos entonces: $TEX: \( \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y} \)$ $TEX: \( \displaystyle <\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}+\frac{x+z}{x+y+z} \)$ $TEX: \( \displaystyle =\frac{2(x+y+z)}{x+y+z} \)$ $TEX: \( \displaystyle =2 \)$ EDIT: P3 No necesariamente. Consideremos el triángulo de lados 1, 1.1, 1.21 y el de lados 1.1, 1.21, 1.331. Son semejantes, tienen dos pares de lados congruentes y no son congruentes. Para poder afirmarlo con seguridad, tienen que ser lados correspondientes, para así poder aplicar criterio LAL o cosas así Mensaje modificado por vocin el Oct 22 2014, 07:02 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 22 2014, 07:03 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	por desigualdad triangular ( $TEX: a+b$\geq$c$ donde $TEX: a,b$ y $TEX: c$ son los lados de un triangulo) la expresion es menor que 3 pero creo que eso no ayuda P2 suponiendo que a,b y c son las menores soluciones de la ecuacion $TEX: $a^{3}$+2$b^{3}$=4$c^{3}$$ la expresion $TEX: $a^{3}$+2$b^{3}$$ es dibisible por 4 por lo que se puede expresar como $TEX: 8$q^{3}$+16$p^{3}$=4$c^{3}$$ dividiendo todo por 4 queda $TEX: 2$q^{3}$+4$p^{3}$=$c^{3}$$ se puede ver que c es divisible por y se puede expresar como $TEX: 2$q^{3}$+4$p^{3}$=8$ dividiendo por 2 queda $TEX: $q^{3}$+2$p^{3}$=4$m^{3}$$ y llegamos a las soluciones q,p y m que deberia ser menores que a, b y c ya que hemos dividido la ecuacion pero a,b y c eran las menores soluciones por lo que cada solucion depende de otra solucion que sea menor que esa siendo esta infinitamente pequeña o por el Principio Del Buen Orden esta ecuacion no tiene solucion Mensaje modificado por alonc el Oct 22 2014, 08:16 PM

jipvX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2014, 02:17 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 9-August 11 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 92.747 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Por casualidad alguien sabe si las pruebas son las mismas que se iban a hacer hoy en Stgo (SJ) ?... se supone que debería haber ido, pero no pude u.u --------------------

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2014, 07:01 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	jipvx la verdad es que no lo se pero va mi solución al P1 planteando las ecuaciones para cada numero nos da $TEX: $a_1$+$a_2$+$a_3$=$b_1$$ $TEX: $a_2$+$a_3$+$a_4$=$b_2$$ ..... $TEX: $a_{12}$+$a_1$+$a_2$=$b_{12}$$ Sumando todo nos da $TEX: 3($a_1$+$a_2$+$a_3$+$a_4$....+$a_{12}$)=$b_1$+$b_2$+$b_3$+$b_4$.....+$b_{12}$=Total$ $TEX: 3(1+2+3..+12)=$b_1$+$b_3$+$b_4$.....+$b_{12}$=Total$ $TEX: 3($\frac{12*13}{2}$)=Total$ $TEX: Total=234$ y para sacar el promedio de cada numero dividimos por $TEX: 12$ $TEX: Prom=19,5$ si el promedio es 19.5 obviamente no todos los resultados son mayores que 20 y se me olvido agregar la solucion x=y=z=0 para el p2

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2014, 07:59 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(alonc @ Oct 23 2014, 08:01 PM) jipvx la verdad es que no lo se pero va mi solución al P1 planteando las ecuaciones para cada numero nos da $TEX: $a_1$+$a_2$+$a_3$=$b_1$$ $TEX: $a_2$+$a_3$+$a_4$=$b_2$$ ..... $TEX: $a_{12}$+$a_1$+$a_2$=$b_{12}$$ Sumando todo nos da $TEX: 3($a_1$+$a_2$+$a_3$+$a_4$....+$a_{12}$)=$b_1$+$b_2$+$b_3$+$b_4$.....+$b_{12}$=Total$ $TEX: 3(1+2+3..+12)=$b_1$+$b_3$+$b_4$.....+$b_{12}$=Total$ $TEX: 3($\frac{1213}{2}$)=Total$ $TEX: Total=234$ y para sacar el promedio de cada numero dividimos por $TEX: 12$ $TEX: Prom=19,5$ si el promedio es 19.5 obviamente no todos los resultados son mayores que 20 y se me olvido agregar la solucion x=y=z=0 para el p2 CITA(Niklaash @ Oct 22 2014, 07:03 PM) [...] Problema 1:* Un gran terremoto azota la zona central del país, Harald Cronopius despierta de un sobresalto, y luego de esperar a que amainara, se las arregla para verificar el estado de su cada, todo estaba sin muchos daños, excepto por el reloj favorito de su abuelo, al cual desgraciadamente se la habían caído todos los números. Dada la penumbra reinante, Harald no logra poner los números en su posición original, sin embargo se da cuenta de algo, de cualquier forma en que ponga los números en el reloj, siempre habrá uno que al sumarle los dos números que quedan a sus lados, el resultado será mayor o igual a 20. Refute o afirme con detalle la afirmación de nuestro amigo. [..] La pregunta no es si todos son mayores o iguales a 20; la pregunta es si siempre existe uno. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 23 2014, 11:36 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	CITA(jipvX @ Oct 23 2014, 10:17 AM) Por casualidad alguien sabe si las pruebas son las mismas que se iban a hacer hoy en Stgo (SJ) ?... se supone que debería haber ido, pero no pude u.u Siempre son distintas por lo que tengo entendido y he visto en años anteriores Saludos

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2014, 07:46 PM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Whoops lei mal el enunciado pero es el mismo razonamiento

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