Prueba Final Nivel Mayor, 2014 - Foro fmat.cl

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Prueba Final Nivel Mayor, 2014

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2014, 09:59 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XXVI Olimpiada Nacional de Matemáticas Nivel Mayor Primera prueba: Jueves 16 de Octubre, 2014 Problema 1: Sean $TEX: $a,b,c$$ números reales que son mayores que $TEX: $0$$ y menores que $TEX: $1$$ . Demuestre que hay al menos uno de estos tres valores: $TEX: $ab(1-c)^2 , bc(1-a)^2 , ca(1-b)^2$$ que es menor o igual que $TEX: $\displaystyle \frac{1}{16}$$ Problema 2: Considere un paralelogramo $TEX: $ABCD$$ de área $TEX: $1$$ . Sean $TEX: $E,F,G,H$$ los centros de gravedad de los $TEX: $\triangle ABC, \triangle BCD, \triangle CDA, \triangle DAB$$ respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero $TEX: $EFGH$$ Problema 3: En el plano hay $TEX: $2014$$ puntos marcados, tales que no hay $TEX: $3$$ que sean colineales. Para cada par de puntos marcados dibuje la recta que pasa por ellos . Pruebe que para todo trío de puntos marcados siempre hay dos que son separados por una cantidad impar de rectas. Segunda prueba: Viernes 17 de Octubre, 2014 Problema 4: Pruebe que para todo $TEX: $n$$ entero, la expresión $TEX: $n^3-9n+27$$ no es divisible por $TEX: $81$$ Problema 5: Demuestre que si un cuadrilátero $TEX: $ABCD$$ puede ser cortado en un número finito de paralelogramos, entonces $TEX: $ABCD$$ es un paralelogramo. Problema 6: Pruebe que para todo conjunto de $TEX: $2n$$ rectas en el plano, tal que no hay dos rectas paralelas, existen dos rectas que dividen al plano en cuatro cuadrantes tales que en cada cuadrante la cantidad de regiones no acotadas es igual a $TEX: $n$$ . p6.png ( 28.02k ) Número de descargas: 4 Tiempo para cada prueba: 3 horas Mensaje modificado por Niklaash el Oct 17 2014, 09:46 PM

Yonekura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2014, 02:46 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 8 Registrado: 2-July 13 Miembro Nº: 120.213 Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 1: Archivo(s) Adjunto(s) Problema_1_ONM_2014.docx ( 13.51k ) Número de descargas: 103

Yonekura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2014, 02:47 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 8 Registrado: 2-July 13 Miembro Nº: 120.213 Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2: Archivo(s) Adjunto(s) Problema_2_ONM_2014.docx ( 13.55k ) Número de descargas: 58

pabl0paredes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2014, 05:32 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Destacado Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 29 Registrado: 12-August 13 Miembro Nº: 121.346 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P1 $TEX: $ (2n-1)^2 \ge 0 \Rightarrow 4n^2 - 4n + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{4} \ge n(1-n)$$ suponemos que todas las expresiones son mayores que 1/16 y multiplicamos todo y sacamos raiz cuadrada, nos queda $TEX: $abc(1-a)(1-b)(1-c) > \frac{1}{64} $$ , pero con lo primero se tiene que $TEX: $ a(1-a)b(1-b)c(1-c) \le \frac{1}{64} $$ contradicción y estamos

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2014, 06:54 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2: Como siempre una porquería la pregunta de geo. Aplíquese una ampliación de razón 3 a un romboide desde el pto de intersección de sus diagonales... se obtiene otro romboide ¿cierto? ¿de qué área???? Analizado así es media línea de argumento xD PD: Yonekura que la pone difícil un png pide el público! Mensaje modificado por Kaissa el Oct 17 2014, 08:31 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2014, 07:19 AM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Subida la 2da prueba, y con eso estamos pd: si alguien tiene las pruebas del nivel menor, me las puede mandar por mp porfis, para subirlas.. eso Saludos!! Mensaje modificado por Niklaash el Oct 18 2014, 07:19 AM

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 18 2014, 07:23 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para los que lograron hacer el bonito problema 3, intenten el 3 de esta prueba: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=2150 Saludos

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2014, 04:15 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Problema 6: Dibujo, notación y construcción auxiliar: Llamaremos a las rectas $TEX: \( a, b, c, ..., k \)$ A las intersecciones de las rectas (pintadas de masculino rosado) las nombraremos de acuerdo a las rectas que lo formen. Por ejemplo, la intersección de $TEX: \( a \)$ y $TEX: \( b \)$ será $TEX: \( I_{ab} \)$ CONSTRUCCIÓN AUXILIAR: dibujaremos una circunferencia (en celeste) que contenta a todas las intersecciones de rectas(NO en el borde). Siempre se puede dibujar una circunferencia de dichas características, ya que el número de intersecciones es finito. A las intersecciones de las rectas con la circunferencia las nombraremos de acuerdo a la recta que esté cortando. Por ejemplo, los cortes de la recta $TEX: \( b \)$ con la circunferencia los llamaremos $TEX: \( J_{b1}, J_{b2} \)$ Cuando nos refiramos al orden de ciertos puntos en la circunferencia, siempre los leeremos en el sentido antihorario. LEMA 1: Todo lo que está afuera de la circunferencia es parte de una región no acotada Supongamos que hay una región que corta a la circunferencia y es acotada. Esto implica que el trozo que sobresale de la circunferencia está limitado por alguna(s) recta(s) y algunas intersecciones de rectas, pero por construcción es imposible. Por lo tanto, todas las zonas de afuera son no acotadas. LEMA 2: Toda región no acotada tiene un trozo fuera de la circunferencia Esto es claro al ver que la circunferencia tiene área finita, por lo que no puede contener algo de área infinita como es un área no acotada. LEMA 3: Cada recta nueva añade 2 regiones no acotadas Utilizando el Lema 1 y el Lema 2 vemos que cada región no acotada podemos relacionarla con intersecciones $TEX: \( J \)$ sucesivas, por lo que el número de regiones no acotadas es igual a la cantidad de intersecciones de las rectas con la circunferencia. Pero cada recta añade dos intersecciones, por lo que añade dos regiones no acotadas. COROLARIO: Este lema nos permite ver que, al haber $TEX: \( k \)$ rectas, hay $TEX: \( 2k \)$ regiones no acotadas. LEMA 4: Dos rectas cualesquiera tienen sus intersecciones con la circunferencia alternadas Demostrémoslo por contradicción. Supongamos que las intersecciones de las rectas $TEX: \( a \)$ y $TEX: \( b \)$ están en el siguiente orden: $TEX: \( J_{a1}, J_{a2}, J_{b1}, J_{b2} \)$ . En dicho caso, las rectas $TEX: \( a \)$ y $TEX: \( b \)$ serían lados opuestos de un cuadrilátero convexo (ya que es cíclico), por lo que se intersectan fuera del cuadrilátero. Pero si no se intersectan en el cuadrilátero, tampoco lo van a hacer dentro del círculo, lo cual es imposible por construcción. Por lo tanto, el único orden posible es $TEX: \( J_{a1}, J_{b1}, J_{a2}, J_{b2} \)$ . LEMA 5: Hay k regiones no acotadas en cada semiplano determinado por una recta cualquiera Hagámoslo por inducción. Para 1 y 2 rectas, es trivial ver que se cumple. Supongamos que tenemos las rectas $TEX: \( a \)$ y $TEX: \( b \)$ , que tienen sus intersecciones en el siguiente orden: $TEX: \( J_{a1}, J_{b1}, J_{a2}, J_{b2} \)$ . Agregamos una nueva recta $TEX: \( c \)$ , que tiene una de sus intersecciones entre $TEX: \( J_{a1} \)$ y $TEX: \( J_{b1} \)$ en el siguiente orden: $TEX: \( J_{a1}, J_{c1}, J_{b1} \)$ . Por el lema 4, la intersección $TEX: \( J_{c2} \)$ tiene que cumplir el siguiente orden: $TEX: \( J_{a2}, J_{c2}, J_{a1} \)$ . También por el lema 4, la intersección $TEX: \( J_{c2} \)$ cumple el siguiente orden: $TEX: \( J_{b1}, J_{c2}, J_{b2} \)$ . Utilizando ambos órdenes y el de las intersecciones de $TEX: \( a \)$ y $TEX: \( b \)$ , queda claro que el único orden posible es el siguiente: $TEX: \( J_{a1}, J_{c1}, J_{b1}, J_{a2}, J_{c2}, J_{b2} \)$ . Pero desde acá es fácil ver que al agregar la recta $TEX: \( c \)$ hemos añadido una área no acotada a cada lado de la recta $TEX: \( a \)$ . Para las otras rectas es de manera similar Matando el problema (luego de muchos lemas xD) Tomemos una recta cualquiera. Por el lema 5, tenemos que a cada lado de dicha recta hay $TEX: \( 2n \)$ regiones no acotadas. Tomemos una segunda recta que deje en uno de los semiplanos $TEX: \( n \)$ rectas a cada lado. Ahora es fácil ver que en el otro semiplano ocurre lo mismo (llamemos a las regiones $TEX: \(r_1=n, r_2=n, r_3, r_4\)$ en ese orden. Por el lema 5, $TEX: \( r_2+r_3=2n \)$ , de donde $TEX: \( r_3=n\)$ . Por otro lado, $TEX: \( r_4+r_1=2n \)$ , de donde $TEX: \( r_4=n\)$ ). Por lo tanto, ambas rectas dividen al plano en 4 regiones con $TEX: \( n \)$ áreas no acotadas en cada uno, cumpliendo lo solicitado. La notita a pie de página: Por como hemos desarrollado el algoritmo, es claro ver que hay exactamente $TEX: \( n \)$ pares de rectas que cumplen con lo solicitado Notas y acotaciones extras: El caso en que todas las rectas las rectas concurren en un punto es trivial de ver; podemos interpretar esta solución como si construyésemos un "punto gordo" en el que "concurren" todas las rectas; lo importante más allá de la burda analogía es que hay propiedades interesantes que no cambian aún cuando pasamos de un punto a un círculo Lo anterior me hace sospechar que se podría plantear una solución trasladando rectas y haciendo que concurran. Alguien se anima? Aún más interesante; alguien lo hizo en la prueba? Así es como me gustaría que se hubiese visto mi solución del P6 en la prueba; en la realidad, quedó muy desordenado D: Mensaje modificado por vocin el Oct 19 2014, 05:27 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2014, 09:24 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	la idea que tome para desarrollar el p4 $TEX: $n^{3}-9n+27=(n-3)n(n+3)+27$$ hay que notar que $TEX: $(n-3)n(n+3)$$ es siempre par, luego, para que esta expresión sea divisible por 81, debemos buscar un numero múltiplo de 81 que sea impar, o sea un numero de la forma: $TEX: $3^{4}(2k-1)$$ con $TEX: $k\in \mathbb{Z}$$ o sea: $TEX: $3^{4}(2k-1)=(n-3)n(n+3)+27$$ $TEX: $3^{4}(2k-1)-3^{3}=(n-3)n(n+3)$$ $TEX: $3^{3}(3(2k-1)-1)=(n-3)n(n+3)$$ $TEX: $3^{3}(6k-4)=(n-3)n(n+3)$$ ahora, hay que darse cuenta que $TEX: $6k-4$$ no es divisible por 3, pero si es par.. por lo tanto la expresión $TEX: $3^{3}(6k-4)$$ es par y divisible por 3, ahora si tomamos un $TEX: $n$$ no múltiplo de 3, inmediatamente nos damos cuenta que $TEX: $(n+3)n(n-3)$$ es par pero no es múltiplo de 3, luego para un $TEX: $n$$ no múltiplo de 3 la expresión del principio no es divisible por 81, ahora si tomamos un $TEX: $n$$ multiplo de 3, obtendremos números de la forma $TEX: $(n-3)n(n+3)=3^{3}(a-1)a(a+1)$$ con $TEX: $a\in \mathbb{Z}$$ finalmente nos damos cuenta que $TEX: $(a-1)a(a+1)$$ es siempre divisible por 3, lo cual no calza con $TEX: $(6k-4)$$ ,luego para un $TEX: $n$$ múltiplo de 3 tampoco la expresión del principio es divisible por 81... eso me hubiese gustado haber puesto en la prueba, ahora lo hice con mas calma, en la prueba me faltaron justificar y explicar algunas cosas, en casi todos los problemas xdd Mensaje modificado por juancodmw el Oct 19 2014, 09:40 PM --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2014, 05:11 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Mi idea para el P4, que utiliza la misma agrupación que Juancodmw: $TEX: \( n^3-9n+27=(n-3)n(n+3)+27 \)$ Si $TEX: \( n \)$ no es múltiplo de 3, tampoco lo será $TEX: \( n+3 \)$ ni $TEX: \( n-3 \)$ , por lo que la expresión será la suma de un múltiplo de 3 (27) y un no múltiplo ( $TEX: \( (n-3)n(n+3) \)$ , por lo que no será múltiplo de 3, ni menos de 81. Si $TEX: \( n \)$ es múltiplo de 3, digamos $TEX: \( n=3k \)$ y reemplazando: $TEX: \( (n-3)n(n+3)+27 \)$ $TEX: \( =(3k-3)3k(3k+3)+27 \)$ $TEX: \( =27(k-1)k(k+1)+27 \)$ En donde la expresión $TEX: \( (k-1)k(k+1) \)$ es múltiplo de 3, ya que es el producto de tres números consecutivos; esto implica que $TEX: \( 27(k-1)k(k+1) \)$ es múltiplo de 81, y la expresión completa es la suma de un múltiplo de 81 y un no múltiplo; por lo tanto, no es múltiplo de 81. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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