Máximo tamaño para un conjunto finito conteniendo puntos medios. Opciones

[Porlapucha]

Sea un conjunto finito tal que para cada par de puntos distintos en existe otro punto en el conjunto con el cual se pueden formar los extremos de un segmento y su punto medio, pruebe que .

[Luffy]

Supongamos por contradicción que . Como es finito, tiene un máximo y un mínimo, digamos y . Además, por la propiedad de , también posee el punto medio .
Consideremos, de entre todos los segmentos con extremos en y contenidos en alguno de los intervalos o , aquel que tiene menor largo (aquí ocupamos que , para mostrar que hay al menos un par de puntos contenidos en un mismo intervalo). Sin pérdida de generalidad podemos decir que ese segmento es dado por los puntos , con . Aplicando la propiedad a los puntos y y también a y , concluimos que y están en , y el segmento que los une está contenido en , y su largo es la mitad de largo del segmento que une a y , lo que es una contradicción.

[Porlapucha]

Muy bien Luffy, la solución esta perfecta!!