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Nivel 3, Individual

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2014, 04:58 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XII Campeonato Escolar de Matemáticas Tercer Nivel Cuarta prueba: Sábado 2 de Agosto, 2014 Problema 1: Pruebe que $TEX: $N=2^n-21^n-108^n+127^n$$ , es divisible por $TEX: $2014$$ para todo numero natural $TEX: $n$$ . Problema 2: En la siguiente figura, (que llamaremos triángulo infinito y del cual se muestra sólo una parte) diremos que dos vértices (números) son adyacentes si están unidos por una línea. p2_n3.png ( 19.95k ) Número de descargas: 3 Definimos la función $TEX: $f(n)$$ como la suma de todos los números adyacentes a $TEX: $n$$ sabiendo esto. Determine $TEX: $f(2014)$$ . Disponible en formato PDF !! Individual_N3.pdf ( 27.18k ) Número de descargas: 23 Saludos !!

pabl0paredes Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2014, 07:02 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 29 Registrado: 12-August 13 Miembro Nº: 121.346 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P1 es facil comprobar que la expresion es divisible por 2 luego, $TEX: $2^n \equiv 108^n \pmod{53} , 127^n \equiv 21^n \pmod{53} \Rightarrow $$ la expresion es divisible por 53 Análogamente $TEX: $2^n \equiv 21^n \pmod{19} , 127^n \equiv 108^n \pmod{19} \Rightarrow $$ la expresion es divisible por 19. Como 2, 19, 53 son coprimos, entonces la expresión es divisible por 2x19x53=2014 Mensaje modificado por pabl0paredes el Oct 12 2014, 07:02 PM

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2014, 07:33 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P2 notemos que la piramide tiene una estructura de sumatoria para lo que generalizando si tomas un numero arbitrario y pasas al circulo que esta diagonal hacia la parte inferior izquierda le sumas el numero de la fila en la que estes lo que nos formaria una figura asi: piramide_magica.png ( 7.62k ) Número de descargas: 4 donde y es el $TEX: $F(y)$$ $TEX: y$ $TEX: n$ esta definida por primer termino de la fila que seria $TEX: $\frac{n(n+1)}{2}$$ y al sumar todos los terminos obtenemos $TEX: (y-n-1)+(y-n)+(y-1)+(y+1)+(y+n+1)+(y+n+2)$ $TEX: =6y+2$ remplazando $TEX: y$ por $TEX: 2014$ $TEX: 2014*6+2=1286$ la explicacion aun esta debil falta probar algunas cosas, tal vez modifique luego y me gustaria escuchar otras soluciones PD: pabl0 que maestro salu

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2014, 08:18 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Esta prueba ya se había subido: Sería ideal tratar de fusionar ambos temas -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2014, 08:31 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	CITA(vocin @ Oct 13 2014, 04:18 PM) Esta prueba ya se había subido: Sería ideal tratar de fusionar ambos temas Las estoy posteando en el sector que deberian estar (no se si puedo mover o no temas, o si no lo hubiera hecho xd), cuando tenga tiempo subire todas las que me faltan del 2013 y 2014.. edit: alonc te envie un mp :3 pd: Aguante paredes<3 Mensaje modificado por Niklaash el Oct 13 2014, 08:34 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2014, 08:36 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Oct 13 2014, 09:31 PM) Las estoy posteando en el sector que deberian estar (no se si puedo mover o no temas, o si no lo hubiera hecho xd), cuando tenga tiempo subire todas las que me faltan del 2013 y 2014.. Jaja ok, en ese caso voy a tirar mis soluciones para acá: P1: Lo primero, vemos que $TEX: \( 2014=21953 \)$ Entonces, ahora es cosa de demostrar que N es divisible por 2, 19 y 53, para todo n. Hagamos primero la parte del 2: $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 2)\\ \equiv \quad { 0 }^{ n }-{ 1 }^{ n }-{ 0 }^{ n }+{ 1 }^{ n }\quad (mod\quad 2)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 2)\\ \therefore \quad 2\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Para 19 (recordando que 127=196+13, 108=195+13, 21=191+2 y que 2=190+2) $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 19)\\ \equiv \quad 2^{ n }-{ 2 }^{ n }-13^{ n }+{ 13 }^{ n }\quad (mod\quad 19)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 19)\\ \therefore \quad 19\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Y finalizando, con el 53 (y utilizando que 108=532+2, 2=530+2, 127=532+21 y que 21=530+21) $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 53)\\ \equiv \quad 2^{ n }-{ 21 }^{ n }-2^{ n }+21^{ n }\quad (mod\quad 53)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 53)\\ \therefore \quad 53\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Combinando los tres resultados anteriores, tenemos que $TEX: \(2014\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ P1 alternativa: Escribiendo la expresión como $TEX: \( \left( { 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n } \right) +\left( { 127 }^{ n }-{ 108 }^{ n } \right) \)$ y utilizando que $TEX: \( a-b\|{ a }^{ n }-{ b }^{ n } \)$ , para concluir que 19 divide a ambos paréntesis. De manera similar, pero agrupando como $TEX: \( \left( { 2 }^{ n }-{ 108 }^{ n } \right) +\left( { 127 }^{ n }-{ 21 }^{ n } \right) \)$ , concluimos que también 106 divide a toda la expresión, por lo que también lo divide $TEX: \( 2014=10619 \)$ . Pero sigo prefiriendo mi primera demostración jaja. P2: Utilizaremos la siguiente notación: llamaremos $TEX: \( g(a ,b) \)$ (con a≥b) número que se encuentra en la fila a, y siendo el b-avo número de esa fila (contando tanto los números como las filas desde 0). De esta manera, $TEX: \(g(0, 0)=0, g(1, 0)=1\)$ , etc.... Podemos demostrar que: a) $TEX: \(g(a,b)=\frac { a(a+1) }{ 2 } +b\)$ . Para ello, basta probar que $TEX: \(g(a,0)=\frac { a(a+1) }{ 2 }\)$ , lo que no es más que demostrar que los números de la izquierda son números triangulares consecutivos. b) $TEX: \(f(n)=g(a-1, b-1)+g(a-1, b)+g(a, b-1)+g(a, b+1)+g(a+1, b)+g(a+1, b+1)\)$ , siendo $TEX: \(n=g(a+b)\)$ , y si uno de los $TEX: \(g(a,b)\)$ no cumple que $TEX: \( a \ge b \)$ , entonces es igual a 0. Para convencerse de esto, basta con un dibujito (al menos de manera informal jajaj). Ahora, sólo nos vasta con ver que $TEX: \(2014=g(62,61)\)$ , y por tanto, $TEX: \(f(2014)=g(61, 60)+g(61, 61)+g(62, 60)+g(62, 62)+g(63, 61)+g(63,62)\)$ Lo que luego de toda la computación tediosa, nos queda que f(2014)=12086\) [/tex] -------------------- Pro Tip*: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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