 Flujos en superficies, CIMPA 2014 |
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 Oct 7 2014, 10:29 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad: .png) Sexo:   |
Construir en la esfera
 en el toro  un campo de vectores que genere un flujo cuyas órbitas son todas periódicas, es decir, para cada  existe  tal que  . ¿Es posible hacer lo mismo en una superficie compacta orientable de género 2?Saludos |
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May 14 2021, 02:55 PM
Publicado:
#2
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558 |
![TEX: <br /><br />\begin{description}<br /> \item [Esfera] Consideremos coordenadas esféricas en la esfera unitaria (valga la redundancia)<br /> $$<br /> \begin{aligned}<br /> x &= \cos(\theta) \sin(\phi)\\<br /> y &= \sin(\theta) \sin(\phi)\\<br /> z &= \cos(\phi)<br /> \end{aligned}<br /> $$<br /> con $\theta \in [0, 2\pi)$ and $\phi \in [0, \pi]$ definidas en la esfera sin los polos y consideremos el siguiente campo vectorial<br /> $$ X = \sin(\phi)\frac{\partial}{\partial \theta},$$<br /> y $X= 0$ en los polos. <br /> es claro que las curvas integrales están dadas por <br /> $$<br /> \begin{aligned}<br /> \theta &= \sin(\phi_0)t + \theta_0 \pmod{ 2\pi}\\<br /> \phi &= \phi_0<br /> \end{aligned}<br /> $$ <br /> claramente periódicas. Por otro lados los polos son puntos críticos por ende las soluciones también son periódicas.<br /> \item [Toro] Considerando la definición del toro como el cuociente $\mathbb R^2 / \mathbb Z^2$, entonces el campo vectorial<br /> $$X = \frac{\partial}{\partial x} $$<br /> tiene como soluciones <br /> $$<br /> \begin{aligned}<br /> x(t) &=t + x_0 \pmod{ 1}\\<br /> y(t) &= y_0<br /> \end{aligned}<br /> $$ <br /> todas de periodo $1$.<br />\end{description}<br /><br />](/tex-image/02c63990b9c7fa5dffe18378a3f92d0d.png) ![TEX: <br /><br />\begin{description}<br /> \item [Superficie de genero $g \geq 2$ ] Si tomamos la definición de solución periódica dada en el enunciado, la solución constante es siempre periódica, por lo que en cualquier superficie el campo vectorial $X = 0$ tiene soluciones periódicas, pero obviamente este no es el espíritu del problema. Consideremos diferentes opciones de modificar el problema para que tenga sentido<br /> \begin{itemize}<br /> \item Una opción seria pedir que el campo vectorial no sea idénticamente nulo, pero en este caso también el problema es trivial. En efecto, sea $\varphi:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ de clase $C^\infty$, radialmente simétrica, positiva y $supp \phi \subseteq B(0, \frac{1}{2})$ y consideremos el campo vectorial<br /> $$ X = \varphi(x, y) (x\frac{\partial}{\partial y} -y\frac{\partial}{\partial x} ). $$<br /> Es claro que las curvas integrales son semicírculos dentro de $B(0,\frac{1}{2})$ y puntos fijos fuera.<br /> <br /> Dada cualquier variedad diferenciable $M$ de dimensión $2$, sea $p\in M$, entonces sabemos que existe una carta local en torno a $p$, digamos $(U, \eta)$ tal que <br /> $$ \eta: U \rightarrow \eta(U) = B(0,1)$$<br /> es difeomorfismo. Entonces podemos considerar el campo vectorial<br /> $$\tilde X = <br /> \begin{cases} d(\eta^{-1}) X & q \in U\\<br /> 0 & q \in M\setminus U<br /> \end{cases}<br /> $$<br /> que también tiene soluciones periódicas.<br /> \item Otra opción seria prohibir completamente las soluciones constantes, es decir, considerar campos vectoriales sin puntos críticos. El problema aquí es que en el caso de la esfera, el teorema de la bola peluda nos dice que todo campo vectorial definido en la esfera se debe anular en algún punto. Considerando la primera parte de la pregunta, esta opción no tiene sentido.<br />\end{itemize}<br />\end{description}<br />](/tex-image/0b11e814695683cffc28ced4acb6ffa5.png) ![TEX: <br />\begin{description}<br />\item [Continuación]<br /><br />\begin{itemize}<br /> \item Finalmente podemos pedir que el campo vectorial solo tenga puntos críticos aislados, en tal caso la respuesta es {\bf negativa}. Sea $M$ la superficie de genero $g \geq 2$. En este caso sabemos que la característica esta dada por $\chi(M) = 2 - 2g < 0$.<br /> <br /> Supongamos que tenemos un campo vectorial $F$ en $M$ con puntos críticos aislados y con curvas integrales periódicas. Entonces el teorema de {\bf Poincaré-Hopf} nos dice que<br /> $$\sum_{p\in C} i(p) = \chi(M)$$<br /> donde $C$ es el conjunto (finito puesto que la variedad es compacta) de puntos críticos y $i(p)$ es el indice de $p$ es decir el número de vueltas que da el campo vectorial cuando damos una vuelta al rededor de $p$. Esto implica que debe existir al menos un punto $p_0$ con indice negativo. Consideremos una carta local para $p_0$ suficientemente pequeña para que no tenga ningún otro punto crítico en la adherencia y que sea difeomorfa al circulo unitario $D$ y que mande $p$ a $0 \in D$. <br />\end{itemize}<br />\end{description}<br />](/tex-image/2bc589d5edde90b64a0317ff6d982a3b.png) ![TEX: <br />\begin{description}<br />\item [Continuación 2]<br /> Haciendo un abuso de notación, seguiremos llamando $F$ al campo vectorial definido en $D$. Ahora hacemos algunas observaciones sobre este campo vectorial y sus curvas integrales<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Ninguna curva integral puede converger a $0$, pues de ser asi, esta curva no seria periódica.<br /> \item Por el mismo argumento, una solución no puede tender a una homoclínica, puesto que no puede haber homoclínicas.<br /> \item No pude haber soluciones periódicas contenidas en $D$, puesto que toda solución periódica tiene indice $1$, pero o bien la solución encierra a $0$, en tal caso debe tener $i© = i(p_0) < 0 $ o no contiene a $0$ y por lo tanto $i© = 0$.<br /> \item Por el teorema de {\bf Poincaré-Bendixon} y los puntos anteriores toda solución empezando en el interior de $D\setminus \{0\}$ debe eventualmente salir de $D$.<br /> <br /> \item Debe existir un punto $x_s\in \partial D$ tal que $F$ apunta hacia adentro, es decir, $F(x)\cdot x < 0$. Para ver esto, notemos que la frontera como curva cerrada tiene indice negativo puesto que es único punto crítico que contiene tiene indice negativo. Pero si el $F$ nunca apunta hacia adentro podemos definir la homotopía continua <br /> $$g: [0, 1] \times \mathbb S^1 \rightarrow \mathbb S^1$$<br /> como <br /> $$ g(\lambda, x) = \frac{(1- \lambda ) F(x) + \lambda x }{ |(1- \lambda ) F(x) + \lambda x |}$$<br /> que esta bien definida puesto que $(1- \lambda ) F(x) + \lambda x\not = 0$ gracias a la condición $F(x)\cdot x \geq 0$.<br /> Pero esto implicaría que <br /> $$i(\partial D) = \deg(g(0,\cdot)) = \deg(x) = 1,$$<br /> donde $\deg$ es el grado topológico.<br /> \end{enumerate}<br />\end{description}<br />](/tex-image/a0c2c080e902fab8187bf33ec5cd463f.png) ![TEX: <br />\begin{description}<br />\item [Continuación 3]<br /> Con todo esto podemos finalmente concluir: Sea $C$ el circulo de radio $\frac{1}{2}$ centrado en $0$. Para todo punto $x\in C$ sabemos que la curva integral que empieza en $C$ eventualmente llega a $\partial D$ en tiempo $T(x)$ que es una función continua en $x$. Sea $\phi(t,x)$ el flujo del campo vectorial $F$, entonces podemos definir la homotopía continua<br /> $$\xi: [0,1] \times C \rightarrow D\setminus \{0\}$$<br /> $$ \xi(\lambda,x) = \phi(\lambda T(x),x) $$<br /> entre $C$ y un subconjunto de $\partial D$. El problema aparece cuando notamos que para que la curva salga de $D$ se tiene que $F(x)\cdot x \geq 0$, lo que implica que<br /> $$ \xi(1, \cdot)© \subseteq \partial D\setminus \{x_s\}, $$<br /> y este ultimo es contractible, lo que implicaría que $C$ es contractible en $D\setminus \{0\}$ que es una contradicción.<br />\end{description}<br />](/tex-image/0011e0162500808758472fb65a312b50.png) |
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May 14 2021, 04:32 PM
Publicado:
#3
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558 |
Me acabo de dar cuenta que hay un error en la última parte. Vere si lo puedo arreglar.
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