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¿Qué es FMAT?

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Nivel 4, Individual

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2014, 05:19 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XII Campeonato Escolar de Matemáticas Cuarto Nivel Tercera prueba: Sábado 21 de Junio, 2014 Problema 1: Encuentre todas las funciones $TEX: $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ tales que: $TEX: $f(\|x-y\|)=f(x)-f(y)$$ , para todo $TEX: $x,y \in \mathbb{R}$$ Nota: $TEX: $\|x\|$$ es el valor absoluto de $TEX: $x$$ . Problema 2: Sean $TEX: $\triangle ABC$$ un triángulo rectángulo en $TEX: $C$$ y $TEX: $\overline{CH}$$ la altura relativa a la hipotenusa. Sean $TEX: $D$$ un punto cualquiera sobre el cateto $TEX: $\overline{AC}$$ , $TEX: $E$$ la proyección ortogonal de $TEX: $D$$ sobre $TEX: $\overline{CH}$$ y $TEX: $F$$ un punto sobre la prolongación de $TEX: $\overline{CH}$$ mas allá de $TEX: $H$$ , tal que $TEX: $CE=HF$$ . Pruebe que el $TEX: $\measuredangle DFB$$ es recto. Disponible en formato PDF !! Individual_N4.pdf ( 29.68k ) Número de descargas: 28 Saludos !!

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Respuestas (1 - 4)

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2014, 06:10 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Me suena el 2 ¿o son tonteras mías? -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2014, 06:52 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Sep 23 2014, 06:10 PM) Me suena el 2 ¿o son tonteras mías? Podria entenderse como el reciproco del P653 de Gogeometry -------------------- >>>LG

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 01:57 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P2 Sea $TEX: $BC=a$$ , $TEX: $AC=b$$ , $TEX: $AB=c$$ y $TEX: $CE=HF=x$$ , por thales en $TEX: $\triangle{ACH}$$ se tiene $TEX: $CD=\dfrac{cx}{a}$$ y por pitagoras en $TEX: $\triangle{CED}$$ , $TEX: $ED=\dfrac{bx}{a}$$ , es facil ver por euclides que $TEX: $BH=\dfrac{a^{2}}{c}$$ y $TEX: $HC=EF=\dfrac{ab}{c}$$ , de esto ultimo por thales en $TEX: $\triangle{EDF}$$ (siendo $TEX: $P=AB\cap FD$$ ), $TEX: $HP=\dfrac{x^{2}c}{a^{2}}$$ . Notemos que $TEX: $x^{2}=\dfrac{a^{2}}{c}\cdot \dfrac{cx^{2}}{a^{2}}$$ , o sea: $TEX: $HF^{2}=BH\cdot HP$$ lo que por euclides se concluye que $TEX: $\angle{FBD}=90°$$ . --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 03:00 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P1 Para $TEX: \( x=y=0 \)$ resulta $TEX: \( f(0)=0 \)$ . Para $TEX: \( x=0, y=a \)$ (a real positivo) resulta $TEX: \( f(a)=-f(a) \)$ , de donde $TEX: \( f(a)=0 \)$ para todo real positivo. Ahora, si elegimos $TEX: \( a, b \)$ tales que $TEX: \( a \)$ sea real positivo y $TEX: \( b \)$ real negativo, tenemos que $TEX: \( f(\|a-b\|)=f(a)-f(b) \)$ , de donde $TEX: \( f(b)=0 \)$ , ya que $TEX: \( f(\|a-b\|) \)$ y $TEX: \( f(a) \)$ están siendo evaluados con números positivos. Esto concluye que la única solución es $TEX: \( f(0)=0 \)$ para todo real. Sol alternativa: Ya que $TEX: \( \|x-y\|=\|y-x\| \)$ , tenemos que $TEX: \( f(x)-f(y)=f(y)-f(x) \)$ , o lo que es lo mismo, $TEX: \( f(x)=f(y)=c \)$ para todo x, y real. Reemplazando en la relación original, tenemos que $TEX: \( c=c-c=0 \)$ , de donde $TEX: \( f(x)=0 \)$ para todo x real. Mensaje modificado por vocin el May 1 2015, 04:42 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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