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Nivel 3, Individual

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2014, 05:08 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XII Campeonato Escolar de Matemáticas Tercer Nivel Tercera prueba: Sábado 21 de Junio, 2014 Problema 1: Sean $TEX: $\mathcal{P}$$ y $TEX: $ABCD$$ un plano y un cuadrado en el espacio respectivamente (como se muestra en la figura). Sea $TEX: $d(X,\mathcal{P})$$ la distancia de un punto $TEX: $X$$ al plano $TEX: $\mathcal{P}$$ . Si $TEX: $d(A,\mathcal{P})=3, d(B,\mathcal{P})=6$$ y $TEX: $d(C,\mathcal{P})=7$$ . Calcule $TEX: $d(D,\mathcal{P})$$ p1_n3.png ( 14.67k ) Número de descargas: 4 Problema 2: Sea $TEX: $A=\{1,3,7,15,...,\}$$ el conjunto de todos los números de la forma $TEX: $2^n-1$$ , donde $TEX: $n$$ es un número entero positivo. Encuentre todos los pares $TEX: $(a,b)$$ de elementos de $TEX: $A$$ , tales que $TEX: $b\geq a$$ y $TEX: $ab\in A$$ Disponible en formato PDF !! Individual_N3.pdf ( 28.59k ) Número de descargas: 23 Saludos !!

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2015, 11:53 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	p2 el problema se puede interpretar como resolver la ecuacion $TEX: $(2^n-1)(2^m-1)=2^q-1$$ si m, n y q pertenecen a los naturales resolviendo la expresion tenemos: $TEX: $2^{n+m}-2^n-2^m+1=2^q-1$$ que es igual a... $TEX: $2^{n+m}-2^n-2^m+2=2^q$<br />$ factorizando y dividiendo por 2 obtenemos $TEX: $2^{n+m-1}-2^{n-1}-2^{m-1}+1=2^{q-1}$$ analizando en la divisibilidad por dos es claro que que eso no tiene solucion a no ser que m-1=0 ó n-1=0 y obtenemos los pares ordenados $TEX: $(1,2^n-1)$$ Mensaje modificado por alonc el Apr 3 2015, 12:00 PM

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