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Nivel 4, Individual

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2014, 01:23 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XII Campeonato Escolar de Matemáticas Cuarto Nivel Segunda prueba: Sábado 31 de Mayo, 2014 Problema 1: En un cuadrilátero $TEX: $ABCD$$ , se cumple que $TEX: $\measuredangle A + 2\measuredangle C = 180$$ . Sean $TEX: $K$$ y $TEX: $L$$ los puntos de tangencia del incírculo del $TEX: $\triangle ABD$$ con $TEX: $\overline{AB}$$ y $TEX: $\overline{AD}$$ respectivamente. Pruebe que los circuncírculos de los triángulos $TEX: $\triangle AKL$$ y $TEX: $\triangle BCD$$ son tangentes. Problema 2: En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide la mitad de la hipotenusa. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo? Disponible en formato PDF !! Individual_N4.pdf ( 28k ) Número de descargas: 47 Saludos !!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2014, 05:28 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	q volá el p2?, tan simple? --------------------

jipvX Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 21 2014, 05:32 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 9-August 11 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 92.747 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(juancodmw @ Sep 21 2014, 06:28 PM) q volá el p2?, tan simple? sí XD ve los puntajes de esa fecha, casi todos con 10 ptos en el segundo problema... --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 14 2014, 10:01 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P2: Consideremos la siguiente figura, en donde hemos llamado O al circuncentro del BCD e I al incentro del ABD Es claro que el ángulo $TEX: \( BOD \)$ vale $TEX: \( 2C \)$ , por lo que el ABOD es cíclico (Ya que $TEX: \( BAD+DOB=A+2C=180 \)$ ). Ahora vemos que $TEX: \( BDO=DBO=\frac{A}{2} \)$ (por isósceles) y que $TEX: \( BAO=DAO=\frac{A}{2} \)$ (por propiedad de cíclico). Con esto es claro que AO es bisectriz del DAB, y que A, I, O son colineales. Ya que I es incentro, tenemos que $TEX: \( BID=90+\frac{A}{2} \)$ , por lo que el BIDC es cíclico; además, $TEX: \( AKI=ILA=90 \)$ y el AKIL también es cíclico. Desde ahí es claro que las circunferencias que pasan por AKIL y BIDC son tangentes, pero la primera es la circunscrita al AKL y la segunda al BCD, concluyendo lo solicitado. EDIT: Faltó justificar que el centro de la circunferencia AKIL está en AO, pero esto es automático al ver que el AI es diámetro. Mensaje modificado por vocin el Dec 18 2014, 01:13 AM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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