[Análisis en R] A lo más hay numerables discontinuidades evitables.

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[Análisis en R] A lo más hay numerables discontinuidades evitables.

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Porlapucha Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2014, 09:45 AM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 34 Registrado: 12-June 14 Miembro Nº: 130.168 Nacionalidad: Sexo:	Dada $TEX: $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ , un punto $TEX: $a$$ se dice que es una discontinuidad evitable de $TEX: $f$$ si $TEX: $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$$ existe pero su valor es distinto a $TEX: $ f(a)$$ . Pruebe que el conjunto de todos los puntos de discontinuidad evitable de $TEX: $f$$ es a lo más numerable.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2022, 02:11 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sea $A = \{x\in\mathbb{R}:f\text{ tiene una discontinuidad evitable en }x\}$. Para $n\in\mathbb{N}$, se define $$A_n=\left\{a\in A:\left\|f(a)-\lim_{x\to a}f(x)\right\|\geq 1/n\right\}$$ Es claro que $A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$. Probaremos que si $a\in A_n$, entonces existe $\delta_a>0$ tal que $(a-\delta_a,a+\delta_a)\cap A_n=\{a\}$. En efecto, si no existe tal $\delta_a>0$, entonces existe una secuencia $(a_k)\subset A_n$ tal que $a_k\to a$ y $a_k\neq a$ para todo $k$. Luego, para todo $k$ <br />\begin{align}\label{eq1}<br />\|f(a_k)-\lim_{x\to a_k}f(x)\|\geq 1/n<br />\end{align}<br /> además, notar que como $a\in A$ $$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{k\to\infty}f(a_k)$$ pues $a_k\to a$. Sea $\epsilon>0$, es claro que existe $\delta>0$ tal que si $z\in (a-\delta,a+\delta)\setminus \{a\}$ entonces $\|f(z)-\lim_{y\to a}f(y)\|<\epsilon/2$. Como $a_k\to a$, entonces existe $N$ tal que para todo $k\geq N$: $0<\|a_k-a\|<\delta$. Si $k\geq N$, entonces existe $\delta_k>0$ tal que si $z\in (a_k-\delta_k,a_k+\delta_k)\setminus\{a_k\}$ tal que $\|f(z)-\lim_{x\to a_k}f(x)\|<\epsilon/2$. Es evidente que si $k\geq N$, entonces siempre existe $z_k\in (a-\delta,a+\delta)\setminus \{a\}\cap (a_k-\delta_k,a_k+\delta_k)\setminus\{a_k\}$, luego <br />\begin{align}<br /> \|\lim_{x\to a_k}f(x)-\lim_{y\to a}f(y)\| &\leq \|\lim_{x\to a_k}f(x)-f(z_k)\| + \|f(z_k)-\lim_{y\to a}f(y)\|\\<br /> &\leq \epsilon/2+\epsilon/2 = \epsilon, \ \forall k\geq N<br />\end{align}<br />lo que prueba que $\lim_{k\to\infty}\lim_{y\to a_k}f(y) = \lim_{x\to a}f(x)$, pero tomando $k\to\infty$ en (1) se sigue que $0=\|\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}f(x)\|\geq 1/n$ lo que es una contradicción. Luego, como $A_n\subset \mathbb{R}$, este es separable con la topología inducida, si $D\subset A_n$ es un denso numerable en $A$, entonces $D\cap (a-\delta_a,a+\delta_a)\neq\emptyset$ para todo $a\in A_n$, pero por lo probado recién, $D\cap (a-\delta_a,a+\delta_a) = \{a\}$ por tanto, $D=A_n$, lo que prueba que $A_n$ es numerable, y como la unión de numerables es numerable, entonces $A$ es numerable.<br />$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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