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Certamen 2, Algebra III

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2007, 03:55 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	EVALUACION 2 ALGEBRA III P1 $TEX: Considere la siguiente relacion en $\mathbb{R}[x]$:<br /><br />$p(x) R q(x) \Leftrightarrow x^{2}+1$ divide a $p(x)-q(x)$<br /><br />a) Demuestre que $R$ es una relacion de equivalencia<br /><br />b) Demuestre que $\mathbb{R}[x]/R=\{[ax+b]: a,b\in \mathbb{R}\}$<br />$ P2 $TEX: Considere una transformacion lineal idempotente $E$<br /><br />a) Demuestre que $Ker ( Id+ E)\cap Ker (E)=\{\theta\}$<br /><br />b) Demuestre que $Ker ( Id+ E)\subseteq Ker (E)$<br /><br />c) concluya que $Id+ E$ es invertible.$ P3 $TEX: Encuentre una transformacion lineal idempotente $T:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3}$ tal que :<br /><br />- $Ker (T)=<\{(1,0,0)\}>$<br /><br />- $Im(T)=<\{(1,1,1),(2,3,2)\}>$$ Mensaje modificado por jorgeston el May 15 2007, 03:57 PM

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2007, 08:47 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	PROBLEMA 2[/size] Si $TEX: $E$$ es un operador idempotente, $TEX: $E=E^{2}$$ . Lema 1: $TEX: $Ker(Id+E)\cap Ker(E)=\{\Theta\}$$ Demostración: $TEX: Sea $v\in V: v\in Ker(Id+E))\cap Ker(E)$. <br /><br />Luego, $v+E(v)=\Theta$ y $E(v)=\Theta$, <br /><br />$\therefore v=\Theta\blacksquare$$ Lema 2: $TEX: $Ker(Id+E)\subseteq Ker(E)$$ Demostración: $TEX: Sea $v\in ker(Id+E)$, La hipotesis dice que $v=-E(v)\Rightarrow E(v)=-E^{2}(v)$, pero $E=E^{2}$. $\therefore E(v)=-E(v)\Rightarrow E(v)=\Theta \blacksquare$$ **** $TEX: $(Id+E)^{-1}$$ existe: Demostración: $TEX: Por el lema 1, $Ker(Id+E)\cap Ker(E)=\{\Theta\}$, y por el lema 2 $\Rightarrow Ker(Id+E)=\Theta$, por lo tanto $(Id+E)$ es inyectiva$\blacksquare$$ La inversa es $TEX: $I-\frac{1}{2}E$$ DEM: Al lector Salu2 PD: Este problema, lo resolvi en el mathlinks de esta misma forma, y sale lindo asi, se subentiende que el lema 1 es la parte a, y el lema 2 es la parte b, y no lo habia hecho acá

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