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XXV OMCS 2014, Uruguay

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 18 2014, 05:10 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XXV Olimpiada de Matemáticas del Cono Sur Atlántida, Uruguay 2014 Primera prueba Lunes 18 de Agosto Problema 1: En un pizarrón están escritos los números del $TEX: $1$$ al $TEX: $2014$$ inclusive. La operación válida es elegir dos números $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ , borrarlos y en su lugar escribir el mínimo común múltiplo del par $TEX: $(a,b)$$ y el máximo común divisor del par $TEX: $(a,b)$$ . Demuestre que, sin importar la cantidad de operaciones que se realice, la suma de los números que quedan escritos en el pizarrón es siempre mayor que $TEX: $2014 \cdot \sqrt[2014]{2014!}$$ . Problema 2: Una pareja de enteros positivos $TEX: $(a,b)$$ se llama charrúa si existe un entero positivo $TEX: $c$$ tal que $TEX: $a+b+c$$ y $TEX: $abc$$ sean ambos cuadrados perfectos, en caso que no exista tal número $TEX: $c$$ la pareja se llama no-charrúa. a) Demuestre que existen infinitas parejas no-charrúas. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $TEX: $n$$ para los cuales la pareja $TEX: $(2,n)$$ es charrúa. Problema 3: Sea $TEX: $ABCD$$ un rectángulo, $TEX: $P$$ un punto exterior tal que $TEX: $\measuredangle BPC=90$$ y el área del pentágono $TEX: $ABPCD$$ es igual a $TEX: $AB^2$$ . Pruebe que es posible dividir el pentágono $TEX: $ABPCD$$ en tres piezas mediante cortes rectos de tal modo que con dichas piezas se pueda construir un cuadrado sin huecos ni superposiciones. Observación: las piezas se pueden girar y dar vuelta. Segunda prueba Martes 19 de Agosto Problema 4: Demuestre que el número $TEX: $n^2-2^{2014}\cdot 2014n+4^{2013}(2014^2-1)$$ , con $TEX: $n$$ natural, no puede ser primo. Problema 5: Sea un cuadrilátero $TEX: $ABCD$$ inscrito en una circunferencia de centro $TEX: $O$$ , dicho punto es interior al cuadrilátero, de modo que los ángulos $TEX: $\measuredangle BAC = \measuredangle ODA$$ . Las diagonales del cuadrilátero se cortan en $TEX: $E$$ . Por $TEX: $E$$ se traza una recta $TEX: $r$$ perpendicular a $TEX: $\overline{BC}$$ y la recta $TEX: $s$$ perpendicular a $TEX: $\overline{AD}$$ . La recta $TEX: $r$$ intersecta a $TEX: $\overline{AD}$$ en $TEX: $P$$ y la recta $TEX: $s$$ intersecta a $TEX: $\overline{BC}$$ en $TEX: $M$$ . Si $TEX: $N$$ es el punto medio de $TEX: $\overline{EO}$$ . Pruebe que $TEX: $M,N$$ y $TEX: $P$$ son colineales. Problema 6: Dada una familia $TEX: $F$$ de subconjuntos de $TEX: $S=\{ 1,2,...,n \}, (n \geq 2)$$ , la jugada permitida es elegir dos conjuntos disjuntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ de $TEX: $F$$ y agregar $TEX: $A \cup B$$ a $TEX: $F$$ (sin quitar ni $TEX: $A$$ ni $TEX: $B$$ ) Inicialmente $TEX: $F$$ tiene exactamente todos los subconjuntos que contienen un solo elemento de $TEX: $S$$ . El objetivo es, que mediante jugadas permitidas, $TEX: $F$$ tenga todos los subconjuntos de $TEX: $n-1$$ elementos de $TEX: $S$$ . Determine el menor números de jugadas necesarias para lograr el objetivo. Observación: $TEX: $A \cup B$$ es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a $TEX: $A$$ , a $TEX: $B$$ o ambos. Tiempo: 3 horas y media. Mensaje modificado por Niklaash el Aug 19 2014, 10:37 PM

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 18 2014, 07:07 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1: GG Easy Como $TEX: $a\cdot b=gcd(a,b)\cdot lcm(a,b)$$ para $TEX: $(a,b)\in \mathbb{N}^2$$ cualesquiera, entonces el producto de todos los números del pizarron no varía al aplicar la operación válida, así que dicho producto siempre será $TEX: $2014!$$ y por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se concluye que dicha suma nunca será menor que la cota especificada. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Julio Armando Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2014, 01:41 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 11-August 14 Miembro Nº: 131.333 Nacionalidad: Sexo:	Pero faltaría demostrar que el caso de igualdad no se cumple, ya que el problema elimina esa posibilidad.

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2014, 08:11 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent P4. todo lo vomitado es equivalente a la expresión \\ $(n-2^{2013}*2014)^2-4^{2013}$ \\ Luego de aquí tenemos una suma por diferencia es decir es el producto de dos enteros por lo tanto el numero no es primo$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

omar31415 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 22 2014, 08:33 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 22-August 14 Miembro Nº: 131.635 Nacionalidad: Sexo:	Sin embargo la diferencia de cuadrados no descarta el caso de que uno de los factores sea +-1 y el otro sea un +-p con p primo. En este caso la expresión, aunque factorizable, seguiría siendo un primo.

Azúcar³ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2014, 02:20 AM Publicado: #6
Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 36 Registrado: 23-February 13 Miembro Nº: 115.546 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Omar eres tú o:?

omar31415 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 23 2014, 08:55 AM Publicado: #7
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 22-August 14 Miembro Nº: 131.635 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Azúcar³ @ Aug 23 2014, 01:20 AM) Omar eres tú o:? Si jaja, he visitado fmat durante algún tiempo pero recién ahora me cree una cuenta.

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2014, 03:05 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion P5: P5_OMCS_2014.png ( 48.13k ) Número de descargas: 2 Tracemos $TEX: $\overline{CD}$$ , entonces, el $TEX: $\measuredangle CDE \cong \measuredangle CAB \cong \measuredangle ADO \Rightarrow \measuredangle CDO \cong \measuredangle ADB$$ , de donde se sigue que $TEX: $\overline{AC} \perp \overline {BD}$$ , puesto que las rectas $TEX: $\overline{DE}$$ y $TEX: $\overline{DO}$$ son conjugadas isogonales y el punto conjugado es el circuncentro $TEX: $O$$ (no se si esta bien dichoxd). Para ver esto mas claramente, sea $TEX: $Z$$ el pie de la perpendicular de $TEX: $O$$ sobre $TEX: $\overline{CD}$$ y note que $TEX: $\measuredangle CAD \cong \measuredangle DOZ$$ , en consecuencia, $TEX: $\measuredangle DEA = 90$$ Sean $TEX: $X$$ e $TEX: $Y$$ los puntos de interseccion de $TEX: $s$$ con $TEX: $\overline{AD}$ y$ $TEX: $r$$ con $TEX: $\overline{BC}$$ respectivamente, entonces por el teorema de Brahmagupta (recien supe que se llamaba asi, igual es facil demostrarlo) se tiene que $TEX: $P$$ y $TEX: $M$$ son puntos medios respectivos de $TEX: $\overline{AD}$$ y $TEX: $\overline{BC}$$ . Ahora si trazamos $TEX: $\overline{OP}$$ y $TEX: $\overline{OM}$$ es claro que estas son perpendiculares, pues son simetrales, en consecuencia, $TEX: $\overline{OP} // \overline{XM}$$ y $TEX: $\overline{OM} // \overline{YP}$$ y el cuadrilatero $TEX: $POME$$ resulta ser un paralelogramo y la colinealidad es directa, al trazar la diagonal $TEX: $\overline{PM}$$ , y estamos listekis. Saludos!!

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 17 2015, 12:54 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2: a) Si $TEX: $a\equiv b \equiv 1$ (mod $4$)$ entonces $TEX: $a+b+c\equiv c+2\equiv abc+2\equiv 2,3$ (mod $4$)$ lo que contradice que a+b+c sea un cuadrado, luego los pares cuyos elementos son congruentes a 1 modulo 4 no satisfacen. Luego hay infinitos no-charruas. b) Veamos que los pares de la forma $TEX: $(2,2\cdot3^{2k})$$ satisfacen. Como abc es un cuadrado, notemos que si dicho par satisface tenemos que c debe ser un cuadrado, digamos $TEX: $c=m^2$$ . Luego lo que queremos es encontrar es un m que satisface la ecuación $TEX: $2+2\cdot3^{2k}+m^2=p^2$$ , de donde $TEX: $2(1+3^{2k})=(p-m)(p+m)$$ entonces si suponemos que $TEX: $p-m=2$$ y $TEX: $p+m=1+3^{2k}$$ tenemos que $TEX: $p=\frac{3+3^{2k}}{2}$$ y $TEX: $m=\frac{3^{2k}-1}{2}$$ . Claramente p,m son enteros positivos y satisfacen la ecuacion, luego tenemos que los pares que definimos al inicio son charruas ya que existe para cada k, $TEX: $c=(\frac{3^{2k}-1}{2})^2$$ que cumple la condición del enunciado. Saludines

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