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Lichiel
mensaje Aug 13 2014, 09:02 PM
Publicado: #1


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TEX: \noindent Sea $\{a_n\}_n \in \mathbb{N}$ una sucesión convergente de números reales positivos tales que $\lim a_n <1 $. Demuestre que existe un $ q \in ]0,1[$ y $N \in \mathbb{N}$, tal que si $n>N$ entonces $a_n<q $.


TEX: \noindent Nota: Este resultado puede ser usado para probar criterios de convergencias para series, tales como el criterio del cociente y de la raíz.


--------------------

TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.
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MysticMan
mensaje Aug 13 2014, 09:08 PM
Publicado: #2


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Me huele a Duvan...

Saludos.


--------------------
TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$
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2.718281828
mensaje Aug 14 2014, 03:14 PM
Publicado: #3


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ConsideremosTEX: $A_n=\{a_k,k\geq n\}$ y TEX: $b_n=\sup A_n$. Note que TEX: $b_n$ es no creciente debido a que la sucesion de conjuntos es $A_n$ es "decreciente" y por las propiedades del supremo. ademas note que TEX: $a_n \leq b_n$ para todo n

En el peor de los casos tenemos que TEX: $b_n$ es constante. Note que el hecho de que TEX: $a_n$ es convergente, implica que TEX: $b_n$ lo sea (recordemos que TEX: $\lim b_n$ era asociado al TEX: $\lim \sup$.)

Por lo tanto TEX: $\lim a_n=\lim b_n =L<1$ segun el enunciado.

El peor de los escenarios es cuando TEX: $b_n$ es una sucesion constante e igual a $L$. Sin embargo, en realidad, es el caso mas facil ya que se concluye inmediatamente. Esto, porque TEX: $a_n \leq L<1$ para todo n y por lo tanto queda demostrado.

Para el caso "general" basta ver que como la sucesión TEX: $b_n$ es decreciente y debido a la convergencia de TEX: $a_n$, existira TEX: $N$ tal que TEX: $b_N<1$ y tal que para todo TEX: $n \leq N$, TEX: $a_n \leq b_n \leq b_N$, Se concluye ya que existe TEX: $N$ y por ende TEX: $q=b_N<1$ tal que TEX: $a_n \leq q$
- Q.E.F.D.

Saludos
Claudio.

EDIT: motherfuckin' error de tipeo y la ....

Mensaje modificado por 2.718281828 el Aug 17 2014, 12:12 PM


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
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Kaissa
mensaje Aug 14 2014, 08:20 PM
Publicado: #4


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CITA(MysticMan @ Aug 13 2014, 09:08 PM) *
Me huele a Duvan...



No imaginas las sacadas de contexto que podría tener tu comentario.


Saludos cordiales.


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SuKeVinBellaKo
mensaje Aug 14 2014, 09:53 PM
Publicado: #5


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TEX: \noindent si $L=\lim a_n$ tonces $0\leq L<1$ y tomate $q\in (L,1)$ y tomate $\epsilon=(q-L)$ por def de limite esiste el $N$ ke keri

era saver usar la def de limite noma kabros
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Lichiel
mensaje Aug 15 2014, 10:29 AM
Publicado: #6


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CITA(SuKeVinBellaKo @ Aug 14 2014, 10:53 PM) *
TEX: \noindent si $L=\lim a_n$ tonces $0\leq L<1$ y tomate $q\in (L,1)$ y tomate $\epsilon=(q-L)$ por def de limite esiste el $N$ ke keri

era saver usar la def de limite noma kabros

TEX: ¿ y por qué puedes elegir $q \in (L,1)$?


--------------------

TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.
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SuKeVinBellaKo
mensaje Aug 15 2014, 02:06 PM
Publicado: #7


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CITA(Lichiel @ Aug 15 2014, 10:29 AM) *
TEX: ¿ y por qué puedes elegir $q \in (L,1)$?


TEX: $(L,1)\neq \emptyset$

Mensaje modificado por SuKeVinBellaKo el Aug 15 2014, 02:06 PM
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Lichiel
mensaje Aug 15 2014, 02:26 PM
Publicado: #8


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CITA(SuKeVinBellaKo @ Aug 15 2014, 03:06 PM) *
TEX: $(L,1)\neq \emptyset$

Ok death.gif


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TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

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Lichiel
mensaje Aug 15 2014, 08:03 PM
Publicado: #9


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CITA(2.718281828 @ Aug 14 2014, 04:14 PM) *
ConsideremosTEX: $A_n=\{a_k,k\leq n\}$ y TEX: $b_n=\sup A_n$. Note que TEX: $b_n$ es no creciente debido a que la sucesion de conjuntos es $A_n$ es "decreciente" y por las propiedades del supremo. ademas note que TEX: $a_n \leq b_n$ para todo n

En el peor de los casos tenemos que TEX: $b_n$ es constante. Note que el hecho de que TEX: $a_n$ es convergente, implica que TEX: $b_n$ lo sea (recordemos que TEX: $\lim b_n$ era asociado al TEX: $\lim \sup$.)

Por lo tanto TEX: $\lim a_n=\lim b_n =L<1$ segun el enunciado.

El peor de los escenarios es cuando TEX: $b_n$ es una sucesion constante e igual a $L$. Sin embargo, en realidad, es el caso mas facil ya que se concluye inmediatamente. Esto, porque TEX: $a_n \leq L<1$ para todo n y por lo tanto queda demostrado.

Para el caso "general" basta ver que como la sucesión TEX: $b_n$ es decreciente y debido a la convergencia de TEX: $a_n$, existira TEX: $N$ tal que TEX: $b_N<1$ y tal que para todo TEX: $n \leq N$, TEX: $a_n \leq b_n \leq b_N$, Se concluye ya que existe TEX: $N$ y por ende TEX: $q=b_N<1$ tal que TEX: $a_n \leq q$
- Q.E.F.D.

Saludos
Claudio.


Error: como te tomaste el conjunto TEX: $A_n$, $b_n$ seria creciente pues tienes queTEX: $ A_{n} \subset A_{n+1}$


--------------------

TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

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mensaje Aug 17 2014, 12:10 PM
Publicado: #10


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CITA(Lichiel @ Aug 15 2014, 08:03 PM) *
Error: como te tomaste el conjunto TEX: $A_n$, $b_n$ seria creciente pues tienes queTEX: $ A_{n} \subset A_{n+1}$

cuac... error de tipeo. me pasa con ese codigo \leq y \geq.

saludos
claudio.


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Claudio Henriquez Tapia
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