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Selectivo Ibero 2014

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2014, 10:23 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Selectivo equipo chileno Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas 2014 Miércoles, 6 de Agosto 2014 Problema 1: Considere una función $TEX: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ verificando para todo $TEX: $x \in \mathbb{R}$$ $TEX: $\displaystyle f(x+1)=\frac{1}{2} + \sqrt{f(x)-f(x)^2}$$ Demuestre que existe $TEX: $b>0$$ tal que $TEX: $f(x+b)=f(x)$$ para todo $TEX: $x \in \mathbb{R}$$ Problema 2: Sea $TEX: $\triangle ABC$$ un triángulo y puntos $TEX: $P,Q,R$$ sobre $TEX: $\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}$$ respectivamente, de manera tal que: $TEX: $\displaystyle\frac{AP}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{CR}{CA}=\frac{1}{n}$$ para $TEX: $n \in \mathbb{N}$$ . Los segmentos $TEX: $\overline{AQ}$$ y $TEX: $\overline{CP}$$ se cortan en $TEX: $D$$ , los segmentos $TEX: $\overline{BR}$$ y $TEX: $\overline{AQ}$$ se cortan en $TEX: $E$$ y los segmentos $TEX: $\overline{BR}$$ y $TEX: $\overline{CP}$$ se cortan en $TEX: $F$$ . Calcule la razón: $TEX: $\displaystyle\frac{Area (\triangle ABC)}{Area (\triangle DEF)}$$ Problema 3: Sea $TEX: $x_0=5$$ y $TEX: $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$$ . Demuestre que: $TEX: $\displaystyle 45 < x_{1000} < 45,1$$ Tiempo: 2 horas. Mensaje modificado por Niklaash el Aug 18 2014, 04:50 PM

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2014, 07:37 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	el problema dos es una aplicación directa del teorema de routh http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Routh publican las soluciones oficiales de esto?

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2014, 07:41 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Adrianocor @ Sep 28 2014, 08:37 PM) el problema dos es una aplicación directa del teorema de routh http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Routh publican las soluciones oficiales de esto? Creo que no El P2 me contaron que salía aplicando Menelao muchas veces (que por lo demás, es el método que se usa para demostrar el Teorema de Routh ) EDIT: El P3, cuando me entró la curiosidad y lo mandé a los cracks japochinos de AoPS: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/v...36&t=602650 Mensaje modificado por vocin el Sep 28 2014, 07:46 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2014, 08:26 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Adrianocor @ Sep 28 2014, 03:37 PM) el problema dos es una aplicación directa del teorema de routh http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Routh publican las soluciones oficiales de esto? Te estan pidiendo demostrar Routh xd (o bien un caso particular) pero dar una solucion asi directa usando el teorema, no esta bien... lo mismo que aca http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=80720 te pedian demostrar el teorema de Miquel... y respecto a las soluciones oficiales.. dudo que existan.. Saludos

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2014, 08:42 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Sep 28 2014, 08:26 PM) Te estan pidiendo demostrar Routh xd (o bien un caso particular) pero dar una solucion asi directa usando el teorema, no esta bien... lo mismo que aca http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=80720 te pedian demostrar el teorema de Miquel... y respecto a las soluciones oficiales.. dudo que existan.. Saludos No lo estaba dando como solución, decia nomas, no tiene ninguna lógica ponerlo asi En todo caso todas las demostraciones de routh que me encontre son enormes, debe haber una forma mas corta dado que es un caso particular. Saludos

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2017, 02:03 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: Veamos que <br />\begin{equation}<br /> \begin{split}<br /> f(x+2) & = \frac{1}{2}+\sqrt{f(x+1)-f(x+1)^2}\\<br /> & = \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2}-\left(\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\right)^2}\\<br /> & = \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-f(x)+f(x)^2}=\frac{1}{2}+\sqrt{\left(f(x)-\frac{1}{2}\right)^2}\\<br /> & = \frac{1}{2}+\left\|f(x)-\frac{1}{2}\right\|<br /> \end{split}<br />\end{equation}<br /><br />Pero de la condición del enunciado, es fácil ver que $\displaystyle f(x)\geq \frac{1}{2}, \ \forall x$, por lo tanto $f(x+2)=f(x)$ $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

1123581321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 19 2017, 04:12 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 19-December 17 Miembro Nº: 155.290	CITA(Niklaash @ Aug 6 2014, 10:23 PM) Problema 3: Sea $TEX: $x_0=5$$ y $TEX: $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$$ . Demuestre que: $TEX: $\displaystyle 45 < x_{1000} < 45,1$$ Tiempo: 2 horas. http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=17786 -------------------- La intuición es un arma poderosa en un matemático.- ...Un hermoso cálculo que nació en una noche de inspiración $TEX: $$\frac{\sqrt[5]{5}}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[9]{9}}{\sqrt[7]{7}}\cdot \frac{\sqrt[13]{13}}{\sqrt[11]{11}}\cdot \frac{\sqrt[17]{17}}{\sqrt[15]{15}}\cdot \frac{\sqrt[21]{21}}{\sqrt[19]{19}}\cdot \frac{\sqrt[25]{25}}{\sqrt[23]{23}}\cdot ...=\exp \left( -\frac{\pi \gamma }{4}-\frac{\pi }{2}\log 2-\frac{3\pi }{4}\log \pi +\pi \log \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \right)$$$

Milton12 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2018, 10:32 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 28-August 18 Miembro Nº: 158.904	El P1 es de la IMO del 68

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