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Cmat fecha 4, nivel 3

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2014, 07:52 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sin_t_tulo.png ( 162.12k ) Número de descargas: 15 saludos --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2014, 08:59 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P1: Lo primero, vemos que $TEX: \( 2014=21953 \)$ Entonces, ahora es cosa de demostrar que N es divisible por 2, 19 y 53, para todo n. Hagamos primero la parte del 2: $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 2)\\ \equiv \quad { 0 }^{ n }-{ 1 }^{ n }-{ 0 }^{ n }+{ 1 }^{ n }\quad (mod\quad 2)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 2)\\ \therefore \quad 2\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Para 19 (recordando que 127=196+13, 108=195+13, 21=191+2 y que 2=190+2) $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 19)\\ \equiv \quad 2^{ n }-{ 2 }^{ n }-13^{ n }+{ 13 }^{ n }\quad (mod\quad 19)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 19)\\ \therefore \quad 19\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Y finalizando, con el 53 (y utilizando que 108=532+2, 2=530+2, 127=532+21 y que 21=530+21) $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 53)\\ \equiv \quad 2^{ n }-{ 21 }^{ n }-2^{ n }+21^{ n }\quad (mod\quad 53)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 53)\\ \therefore \quad 53\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Combinando los tres resultados anteriores, tenemos que $TEX: \(2014\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ P2: Utilizaremos la siguiente notación: llamaremos $TEX: \( g(a ,b) \)$ (con a≥b) número que se encuentra en la fila a, y siendo el b-avo número de esa fila (contando tanto los números como las filas desde 0). De esta manera, $TEX: \(g(0, 0)=0, g(1, 0)=1\)$ , etc.... Podemos demostrar que: a) $TEX: \(g(a,b)=\frac { a(a+1) }{ 2 } +b\)$ . Para ello, basta probar que $TEX: \(g(a,0)=\frac { a(a+1) }{ 2 }\)$ , lo que no es más que demostrar que los números de la izquierda son números triangulares consecutivos. b) $TEX: \(f(n)=g(a-1, b-1)+g(a-1, b)+g(a, b-1)+g(a, b+1)+g(a+1, b)+g(a+1, b+1)\)$ , siendo $TEX: \(n=g(a+b)\)$ , y si uno de los $TEX: \(g(a,b)\)$ no cumple que $TEX: \( a \ge b \)$ , entonces es igual a 0. Para convencerse de esto, basta con un dibujito (al menos de manera informal jajaj). Ahora, sólo nos vasta con ver que $TEX: \(2014=g(62,61)\)$ , y por tanto, $TEX: \(f(2014)=g(61, 60)+g(61, 61)+g(62, 60)+g(62, 62)+g(63, 61)+g(63,62)\)$ Lo que luego de toda la computación tediosa, nos queda que f(2014)=12086\) [/tex] Mensaje modificado por vocin el Aug 2 2014, 09:35 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2014, 09:29 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Aug 2 2014, 08:59 PM) P1: Lo primero, vemos que $TEX: \( 2014=21953 \)$ Entonces, ahora es cosa de demostrar que N es divisible por 2, 19 y 53, para todo n. Hagamos primero la parte del 2: $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 2)\\ \equiv \quad { 0 }^{ n }-{ 1 }^{ n }-{ 0 }^{ n }+{ 1 }^{ n }\quad (mod\quad 2)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 2)\\ \therefore \quad 2\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Para 19 (recordando que 127=196+13, 108=195+13, 21=191+2 y que 2=190+2) $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 19)\\ \equiv \quad 2^{ n }-{ 2 }^{ n }-13^{ n }+{ 13 }^{ n }\quad (mod\quad 19)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 19)\\ \therefore \quad 19\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Y finalizando, con el 53 (y utilizando que 108=532+2, 2=530+2, 127=532+21 y que 21=530+21) $TEX: \({ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\quad (mod\quad 53)\\ \equiv \quad 2^{ n }-{ 21 }^{ n }-2^{ n }+21^{ n }\quad (mod\quad 53)\\ \equiv \quad 0\quad (mod\quad 53)\\ \therefore \quad 53\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ Combinando los tres resultados anteriores, tenemos que $TEX: \(2014\|{ 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n }-{ 108 }^{ n }+{ 127 }^{ n }\)$ no cacho eso de los modulos :/, por mi parte le apliqué inducción. --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2014, 09:37 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Aug 2 2014, 09:29 PM) no cacho eso de los modulos :/, por mi parte le apliqué inducción. La idea de tomar módulos es llegar a que N es congruente a 0 bajo cada módulo, lo que implica que el módulo divide a n. Eso, y utlizar que $TEX: \( a\equiv b\quad (mod\quad n)\quad \Rightarrow \quad { a }^{ n }\equiv { b }^{ n }\quad (mod\quad n) \)$ -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2014, 10:14 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	el p2 me dio 12084 :/ --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2014, 10:26 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Aug 2 2014, 10:14 PM) el p2 me dio 12084 :/ Que raro, re-hice las comprobaciones,e incluso realicé una tabla en excel que hace el triángulo, y me sigue dando 12086 -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2014, 08:18 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Aug 2 2014, 10:26 PM) Que raro, re-hice las comprobaciones,e incluso realicé una tabla en excel que hace el triángulo, y me sigue dando 12086 en ese caso, el 2076 es adyacente, no el 2078. --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2014, 08:43 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(juancodmw @ Aug 3 2014, 08:18 AM) en ese caso, el 2076 es adyacente, no el 2078. Re-hice el gráfico, ahora con forma de pirámide, y me sigue dando que 2078 es adyacente, y no 2076 :/ Ah, y por cierto, cómo demostraste el P1 por inducción? Solo por curiosidad -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2014, 09:16 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	me acabo de dar cuenta del cagazo que me mande en el P2 (determine una "formula" en función de las filas), estaba bien, de hecho da 12086, pero calcule mal en la prueba por inducción, también me guie por el hecho de que 2014=21953, jugué algebraicamente con los exponenetes y llegue a algo xd. --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2014, 10:03 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Se me ocurrió una demostración alternativa del P1, escribiendo la expresión como $TEX: \( \left( { 2 }^{ n }-{ 21 }^{ n } \right) +\left( { 127 }^{ n }-{ 108 }^{ n } \right) \)$ y utilizando que $TEX: \( a-b\|{ a }^{ n }-{ b }^{ n } \)$ , para concluir que 19 divide a ambos paréntesis. De manera similar, pero agrupando como $TEX: \( \left( { 2 }^{ n }-{ 108 }^{ n } \right) +\left( { 127 }^{ n }-{ 21 }^{ n } \right) \)$ , concluimos que también 106 divide a toda la expresión, por lo que también lo divide $TEX: \( 2014=10619 \)$ . Pero sigo prefiriendo mi primera demostración jaja. Mensaje modificado por vocin* el Aug 3 2014, 10:07 AM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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