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Ortocentro en la directriz

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2014, 04:01 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Sea $\mathcal{P}$ una par\'abola de directriz $\mathcal{D}$ y sea $\Delta ABC$ circunscrito a $\mathcal{P}$ (es decir sus tres lados son, proyectados si es necesario, tangentes a $\mathcal{P}$) de ortocentro $H$.\\<br />Pruebe que $H\in\mathcal{D}$.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Diego_don_diego Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 19 2015, 12:12 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 179 Registrado: 23-July 12 Desde: Algún lugar del mundo... Miembro Nº: 109.283 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sin pérdida de generalidad podemos considerar la parábola $y=x^{2}$, cuya directriz es la recta $y=\dfrac{-1}{4}$. La tangente en $(t,t^{2})$ es $y=t^{2}+2t(x-t)$. Las tangentes en los puntos $(a,a^{2})$ $(b,b^{2})$ y $(c,c^{2})$, es decir las rectas$ $TEX: $y=a^{2}+2a(x-a)$$ $TEX: $y=b^{2}+2b(x-b)$$ $TEX: $y=c^{2}+2c(x-c)$$ $TEX: se cortan en los puntos$ $TEX: $A=(\dfrac{b+c}{2}, bc)$$ $TEX: $B=(\dfrac{c+a}{2}, ca)$$ $TEX: $C=(\dfrac{a+b}{2}, ab)$$ $TEX: El ortocentro del triángulo ABC es el punto$ $TEX: $H=(\dfrac{a+b+c+4abc}{2},\dfrac{-1}{4})$$

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 19 2015, 09:56 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Con geometría analítica... uhm.... pillo! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

naruto2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 12 2023, 02:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 5-April 12 Miembro Nº: 103.651 Sexo:	Comence a escribir la respuesta pero me la encontre aqui y bueno algun dia pongo la mia que tambien utiliza recta de Simson (en realidad yo usaba el inverso) y propiedades ya sabidas de la parabola. El verano da flojera. https://math.stackexchange.com/questions/37...center-on-the-d Bueno que diablos! Sean P, Q y R los respectivos puntos de tangencia de los lados del ABC a la parabola y P',Q' y R' sus respectivas proyecciones sobre la directriz. Sabemos de la definicion de parabola que PP'=PF, QQ'=QF y RR'=RF. Ademas las respectivas tangentes son bisectrices de los angulos FPP', FQQ' y FRR', luego FP', FQ' y FR' van a ser perpendiculares a los lados AB, AC y BC, respectivamente en los puntos X,Y y Z. Es facil ver que X,Y y Z estan alineados por ser puntos medios de FP', FQ' y FR' (FP' es la base del isosceles FPP' y PX es su altura, igual para los otros 2 isosceles) y dicha recta (XZ) es paralela a la directriz, luego con el inverso del teorema de Simson concluimos que F pertenece al circuncirculo de ABC. Y citando a Wikipedia "La línea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH, donde H representa el ortocentro del triángulo" asi queda demostrado que en la directriz se halla el ortocentro. parabola.png ( 40.89k ) Número de descargas: 1 Mensaje modificado por naruto2 el Jan 12 2023, 09:22 PM

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