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> Polinomio de cuarto grado
Adrianocor
mensaje Jul 21 2014, 08:37 AM
Publicado: #1


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No sabia donde ponerlo, lo dejo aca.

TEX: Del polinomio de cuarto grado P$(x)$, se sabe que asume su máximo valor 3 para $x=2 \wedge x=3$, y además, que P$(1)=0$. Calcule P$(4)$

Salu2
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mensaje Jan 4 2023, 04:34 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Una solución un tanto heurística.

Sabemos que TEX: $(x-2)^2(x-3)^2\geq 0$ donde se alcanza la igualdad en x=2 y x=3. Entonces un polinomio tal que el máximo sea 3 en dichos puntos tiene la forma TEX: $p(x)=3-k(x-2)^2(x-3)^2$.

como TEX: $p(1)=0$ tenemos que TEX: $3-4k=0$ que nos da TEX: $k=3/4$. De acá obtenemos fácilmente que TEX: $p(4)=0$.

El polinomio es único básicamente por cosas relacionadas a la interpolación de Hermite.

La segunda opción, que es mas pajera, seria resolver un sistema de 5x5 usando la información de los puntos + info de la derivada. Pero, eso puede obviarse a un 3x3 usando justamente la info de la derivada. De momento no se me ocurre hacerlo con algo de restos.

Saludos
Claudio.



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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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