Fecha 2. CEMAT 2007. VIII Región,.M3, Grupal Opciones

[Hexe]

Faltaba subir la prueba grupal
asi que aqui va


Problema 1: El anciano Abuelo Anacleto tienen 10 hijos. Estos le dieron 70 nietos, los cuales han procreado ya 300 bisnietos. Anacleto lleva la cuenta exacta de sus tataranietos , que son 751 (hasta el momento). Demostrar que almenos 2 de los tataranietos del abuelo tienen el misnmo sexo y celebran su cumpleaños el mismo día del año.

Problema 2: Considerar un triangulo isóceles ABC , con ABAC. sean D,E puntos en los lados AC,AB, respectivamente, tales que BC=BD y AD=DE=EB. Encontrar la medida del ángulo BAC.

Problema 3: Calcular el valor de la siguiente multiplicación:


Problema 4: Demostrar que:


Problema 5: Considerar un mini tablero de ajedrez de 5x5 como el de la figura .



Hay una hormiga en el casillero marcado con una X.La hormiga camina sobre el tablero, pasando a cualquier casillero adyacente horizontal o verticalmente (no en diagonal). Determinar si la Hormiga puede partir en la posición X, pasar una y solo una vez por cada casillero del talero,para finalmente volver a su posición inicial.


fin

Razón de edición: error tipeo en el P4

[Manuel71]

Me gustaría saber cómo se hace el 4, que es el único que no sabría hacer.
Aprovecho para poner el que me tocó a mí (Estoy en M4, pero veo que las pruebas son iguales):


Primero que nada la hormiga recorre 26 cuadros. Los 25 del tablero, pero repitiendo el de la esquina.
Vemos que la hormiga va alternando de cuadro blanco a negro a blanco, etc... Parte en uno blanco, así que el cuadro n-ésimo es blanco para n impar y negro para n par. El último cuadro que el el 26° es negro y no coincide con el primero (que se dijo era blanco). Así que la hormiga no puede realizar el recorrido pedido.

[Jorgeston]

Respuesta censurada

error feo..y el propuesto estaba malo .. disculpas pertinentes

Mensaje modificado por jorgeston el May 14 2007, 10:19 PM

[Joaquito]

Ja! A mí igual me tocó el 4. Muy peludo . Lo hice mal jaja.
Pero llegué a la conclusión que era mayor que 1/2007 después porque:

Probando:

(1/2)(3/4)(5/6) < 1/6
15/48 = 5/16 > 1/6

(15/48)(7/8)(9/10) = 945/3840 = 0,24609375 (me dio lata simplificar ).

0,24609375 > 0.1
945/3840 > 1/10


Así siguiendo con esa técnica llegaríamos a que el tremendo número es MAYOR a 1/2007 .

También se me ocurrió hacerlo con factoriales:

los pares (los de abajo) vendrían siendo: 2(1004!), porque así son sólo los pares hasta 2*1004 = 2008 .
y los impares (los de arriba) sería: 2007! - pares; osea, 2007! - 2(1004!)

Osea, la inecuación (nuestra duda) sería:



También sabemos que el producto de los impares es menor al de los pares, por lo que SABEMOS que

2007! - 2(1004!) < 2(1004!)
2007! < 4(1004!)





Y eso, no sé cómo seguir xd, o la verdad me cansé. En fin, la cosa es que es mayor .

[Manuel71]

Ok. Ahora me quedó claro.
[EDIT]: =0!! ¡entonces no era esa! Bueno, igual gracias.
Y aprovechando el post:
Acá va el 3:

Realizando las restas:



Usando suma por diferencia y separando los cuadrados:



Simplificando los numeradores con los denominadores de las fracciones adyacentes:



Mensaje modificado por Manuel71 el May 15 2007, 06:56 AM

[Pasten]

En el 4, para salir del paso rapido aproxime resultado del producto a con un error muy pequeño. Este numero es mayor que la cota propuesta asi que lo mas probable es que el ejercico este malo.
Si alguien dispone de tiempo intente demostrar la desigualdad en el otro sentido (induccion?)
Saludos

[sebagarage]

[Pasten]

Solo notar que mirando los inversos multiplicativos, el del producto es (calculado con Derive) mientras que mi aproximacion da (!!?) y el del lado derecho es (obviamente) .
Me llamo la atencion...
Saludos

[eL_MoRi]

También se me ocurrió hacerlo con factoriales:

los pares (los de abajo) vendrían siendo: [/color]2(1004!), porque así son sólo los pares hasta 2*1004 = 2008 .
y los impares (los de arriba) sería: 2007! - pares; osea, 2007! - 2(1004!)

Osea, la inecuación (nuestra duda) sería:

[tex]$dfrac\{2007! - 2(1004!)}{2(1004!)} < \dfrac{1}{2007}$[tex]

También sabemos que el producto de los impares es menor al de los pares, por lo que SABEMOS que

2007! - 2(1004!) < 2(1004!)
2007! < 4(1004!)

[tex]$dfrac\{2007! - 2(1004!)}{2(1004!)} < \dfrac{1}{2007}$[tex]
[tex]$2007(2007! - 2(1004!))< 2(1004!) $[tex]

Y eso, no sé cómo seguir xd, o la verdad me cansé. En fin, la cosa es que es mayor .

Creo que ahi esta mal...
ya que en los denominadores tendrias:
(1x2) (2x2) (3x2).... (1004x2)
Si quieres sacar factor comun 2, tienes 1004 mutiplicaciones, quedaria en potencia... osea:
2¹⁰⁰⁴ x 1004!

Lo otro...

Para sacar los numeros impares... Seria:
2007! / 2¹⁰⁰³ x 1003!

(1003 porque si fuera 1004 estarias contando el 2008... entonces te quedarian todos los n° impares hasta 2007 / 2008)

Y luego te quedaria...

2007!
2²⁰⁰⁷ x 1004! x 1003!
(No se como hacer la raya fraccionaria XD)

Saludos!

[Cesarator]

En el p4, como ya vieron, hubo un error de tipeo, la intención original era pedir demostrar que el producto es menor que
.. se perdió la raíz en el tipeo...