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> Ayuda con la siguiente desigualdad
Adrián Roach
mensaje Jul 19 2014, 07:42 PM
Publicado: #1


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Necesito ayuda con este sencillo ejercicio, su respuesta esArchivo Adjunto  solucion.png ( 6.68k ) Número de descargas:  3

Archivo(s) Adjunto(s)
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juancodmw
mensaje Jul 19 2014, 07:52 PM
Publicado: #2


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ocupa la propiedad de el valor absoluto, y pasa algo bien simpático, ten ojo con las restricciones.


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Adrianocor
mensaje Jul 20 2014, 12:07 AM
Publicado: #3


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Cuando x^2<x??
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Cenizas con Most...
mensaje Jul 20 2014, 10:39 AM
Publicado: #4


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Adrián! Que sorpresa pillarte acá!

Este problema tiene varias formas de abordarse. Ojo con ésto, pues hay métodos que resultan super convenientes en estos casos pero pueden ser mala idea en otros casos. Intenta analizar cuál es el espíritu de cada método.

Primera forma: Esta es como la más simple. La observación clave es que TEX: $x^2-x=x(x-1)$, o sea hay una relación simpática entre TEX: $x^2-x$ y TEX: $x-1$. Mediante propiedad de valor absoluto tienes que
TEX: $|x^2-x|>|x-1|\Leftrightarrow |x|\cdot |x-1|>|x-1|$ (*)

Notar que si x cumple que TEX: $|x-1|\ge 0$, entonces TEX: $|x-1|>0$ ó TEX: $|x-1|=0$ (y qué quiere decir esto último?). Si se impone que TEX: $|x-1|>0$, multiplicando a ambos lados de (*) por TEX: $|x-1|^{-1}$ se tiene que TEX: $|x|>1$. El resto queda a cargo tuyo.

Segunda forma: Una forma de deshacerse del valor absoluto es "elevando al cuadrado", pues TEX: $|x|^2=x^2$ siempre. Como TEX: $|x-1|>0$ y TEX: $|x^2-x|>0$ siempre (es necesario pedir que las expresiones comparadas tengan mismo signo para poder elevar al cuadrado!!) entonces
TEX: $|x^2-x|>|x-1|\Rightarrow x^4-2x^3+x^2>x^2-2x+1\Rightarrow x^4-2x^3+2x-1>0$

Acá aplica lo tradicional: intentar factorizar a la mala el polinomio obtenido y ocupar tablita de inecuación.

Tercera forma: A mi juicio, ésta es la forma más tradicional. El objetivo acá es deshacerse de los valores absolutos ocupando la definición de valor absoluto. Acá se ocupa que TEX: $|x^2-x|=x^2-x$ si y solo si TEX: $x^2-x\ge 0$ y eso si y solo si TEX: $x\in ]-\infty,0]\cup [1,+\infty[$. Por otra parte TEX: $|x-1|=x-1$ si y solo si TEX: $x-1\ge 0$ si y solo si TEX: $x\in [1,+\infty[$. O sea, se tienen tres casos:
  • Si TEX: $x\in ]-\infty,0]$, se tiene que TEX: $|x^2-x|=x^2-x$ y TEX: $|x-1|=1-x$. ¿Cómo te queda la ecuación? ¿Qué puedes hacer?
  • Si TEX: $x\in ]0,1[$, se tiene que TEX: $|x^2-x|=x-x^2$ y TEX: $|x-1|=1-x$. ¿Cómo te queda la ecuación? ¿Qué puedes hacer?
  • Si TEX: $x\in [1,+\infty]$, se tiene que TEX: $|x^2-x|=x^2-x$ y TEX: $|x-1|=x-1$. ¿Cómo te queda la ecuación? ¿Qué puedes hacer?

Saludos.


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He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!
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Adrián Roach
mensaje Jul 21 2014, 10:31 PM
Publicado: #5


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CITA(Cenizas con Mostaza @ Jul 20 2014, 11:39 AM) *
Adrián! Que sorpresa pillarte acá!

Este problema tiene varias formas de abordarse. Ojo con ésto, pues hay métodos que resultan super convenientes en estos casos pero pueden ser mala idea en otros casos. Intenta analizar cuál es el espíritu de cada método.

Primera forma: Esta es como la más simple. La observación clave es que TEX: $x^2-x=x(x-1)$, o sea hay una relación simpática entre TEX: $x^2-x$ y TEX: $x-1$. Mediante propiedad de valor absoluto tienes que
TEX: $|x^2-x|>|x-1|\Leftrightarrow |x|\cdot |x-1|>|x-1|$ (*)

Notar que si x cumple que TEX: $|x-1|\ge 0$, entonces TEX: $|x-1|>0$ ó TEX: $|x-1|=0$ (y qué quiere decir esto último?). Si se impone que TEX: $|x-1|>0$, multiplicando a ambos lados de (*) por TEX: $|x-1|^{-1}$ se tiene que TEX: $|x|>1$. El resto queda a cargo tuyo.

Segunda forma: Una forma de deshacerse del valor absoluto es "elevando al cuadrado", pues TEX: $|x|^2=x^2$ siempre. Como TEX: $|x-1|>0$ y TEX: $|x^2-x|>0$ siempre (es necesario pedir que las expresiones comparadas tengan mismo signo para poder elevar al cuadrado!!) entonces
TEX: $|x^2-x|>|x-1|\Rightarrow x^4-2x^3+x^2>x^2-2x+1\Rightarrow x^4-2x^3+2x-1>0$

Acá aplica lo tradicional: intentar factorizar a la mala el polinomio obtenido y ocupar tablita de inecuación.

Tercera forma: A mi juicio, ésta es la forma más tradicional. El objetivo acá es deshacerse de los valores absolutos ocupando la definición de valor absoluto. Acá se ocupa que TEX: $|x^2-x|=x^2-x$ si y solo si TEX: $x^2-x\ge 0$ y eso si y solo si TEX: $x\in ]-\infty,0]\cup [1,+\infty[$. Por otra parte TEX: $|x-1|=x-1$ si y solo si TEX: $x-1\ge 0$ si y solo si TEX: $x\in [1,+\infty[$. O sea, se tienen tres casos:
  • Si TEX: $x\in ]-\infty,0]$, se tiene que TEX: $|x^2-x|=x^2-x$ y TEX: $|x-1|=1-x$. ¿Cómo te queda la ecuación? ¿Qué puedes hacer?
  • Si TEX: $x\in ]0,1[$, se tiene que TEX: $|x^2-x|=x-x^2$ y TEX: $|x-1|=1-x$. ¿Cómo te queda la ecuación? ¿Qué puedes hacer?
  • Si TEX: $x\in [1,+\infty]$, se tiene que TEX: $|x^2-x|=x^2-x$ y TEX: $|x-1|=x-1$. ¿Cómo te queda la ecuación? ¿Qué puedes hacer?
Saludos.

Muchas gracias Ricardo, te pasaste. Lo habia logrado hacer, pero con esto quedo experto!!!
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