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Controles 3 Álgebra Lineal, Nueva

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:32 PM Publicado: #11
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:35 PM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 12-2 Control 3 Semestre Pimavera 2012 P1. Sea $TEX: $A=\begin{pmatrix}<br />1&2\\<br />2&4<br />\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ . Considere la función $TEX: \begin{eqnarray}<br />T:\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) &\to\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\\<br />M &\to A\cdot M<br />\end{eqnarray}$ (1,0 pto.) Demuestre que T es una función lineal. (2,0 ptos.) Determine los subespacios ker(T) e Im(T) y encuentre una base y la dimensión de cada uno. (3,0 ptos.) Encuentre M matriz representante de T con respecto a la base canónica $TEX: \[\beta = \left\{\begin{pmatrix}<br />1&0\\<br />0&0<br />\end{pmatrix},\begin{pmatrix}<br />0&1\\<br />0&0<br />\end{pmatrix},\begin{pmatrix}<br />0&0\\<br />1&0<br />\end{pmatrix},\begin{pmatrix}<br />0&0\\<br />0&1<br />\end{pmatrix}\right\}\]$ en el espacio de partida y de llegada. P2. Sean $TEX: $A,B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ dadas por $TEX: \[A=\begin{pmatrix}<br />1&1&0\\<br />0&1&1\\<br />0&0&1<br />\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}<br />1&1&0\\<br />1&1&0\\<br />0&0&1<br />\end{pmatrix}\]$ Para cada una de ellas se pide los siguiente: (4,5 ptos.) Calcular valores y vectores propios. (1,5 ptos.) Decidir si es o no diagonalizable. Fundamente. En caso de ser diagonalizable encuentre una matriz P invertible y una matriz D diagonal tales que la matriz se escriba como PDP^-1. P3. (3,0 ptos.) Sea $TEX: $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$$ una función lineal tal que $TEX: $T\circ T=T$$ .Pruebe que $TEX: $\mathbb{R}^n=\ker (T)\oplus \text{Im}(T)$$ . (1,5 ptos.) Si $TEX: $A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ tiene sólo un valor propio igual a 1 y es diagonalizable, entonces A=I. (1,5 ptos.) Sean $TEX: $A\in\mathcal{M}_{4\times7}(\mathbb{R})$$ y $TEX: $B\in\mathcal{M}_{7\times 4}(\mathbb{R})$$ . Muestre que B·A no puede ser la identidad $TEX: $I\in\mathcal{M}_{7\times 7}(\mathbb{R})$$ Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 21 2014, 10:50 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:36 PM Publicado: #13
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:38 PM Publicado: #14
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 13-2 Control 3 Semestre Pimavera 2013 P1. a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ una matriz simétrica. Se sabe que el polinomio característico de A es $TEX: $p(\lambda)=-\lambda(\lambda-3)^2$$ y que (1,-1,0) y (1,1,-2) son vectores proprios de A asociados al valor propio $TEX: $\lambda=3$$ . Se pide construir la matriz A. b) (3,0 ptos.) Considere la matriz $TEX: $C\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ definida por $TEX: \[\begin{pmatrix}<br />2&a&0\\<br />0&2&b\\<br />0&0&2<br />\end{pmatrix}\]$ ¿Para qué valores de a y b en IR la matriz C es diagonalizable? Jutifique su respuesta. P2. Sea S₂ el espacio vectorial de las matrices simétricas de 2x2 con coeficientes reales. Dada $TEX: $B\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ , considere la transformación lineal $TEX: $T:\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\to S_2$$ definida por $TEX: \[T(X)=BX+X^TB^T\]$ donde $TEX: \[X=\begin{pmatrix}<br />x_1&x_2\\<br />x_3&x_4<br />\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\]$ a) (1,0 pto.) Verificar que T(X) está bien definida, es decir, $TEX: $T(X)\in S_2$$ . b) (3,0 ptos.) Para $TEX: $\begin{pmatrix}<br />a&b\\<br />c&d<br />\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ encuentre la matriz representante de T con respecto a la base canónica de $TEX: $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ y la base $TEX: \[\left\{\begin{pmatrix}<br />1&0\\<br />0&1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}<br />0&1\\<br />1&0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}<br />0&0\\<br />0&1\end{pmatrix}\right\}\]$ de S₂. c) (2,0 ptos.) Para $TEX: $B=\begin{pmatrix}<br />1&1\\<br />1&0<br />\end{pmatrix}$$ encuentre bases y dimensión para ker(T) e Im(T). P3. Sea $TEX: $q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\dots+b_mx^m$$ un polinomiode grado m y A una matriz cuadrada. Se define $TEX: \[q(A)=b_0I+b_1A+b_2A^2+\dots+b_mA^m\]$ Si $TEX: $A\in\mathcal{M}_{n\times n}$$ es una matriz diagonalizable, $TEX: $p(\lambda)$$ su polinomio característico y A=PDP^-1, su diagonalización, se pide: (2,0 ptos.) Demostrar que p(D)=0. (2,0 ptos.) Demostrar que p(A)=0. (2,0 ptos.) Probar, usando inducción sobre m y el punto ii., que $TEX: $\forall m\in\mathbb{N}$$ A^m es combinción lineal de I, A, A²,...,A^n-1. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 21 2014, 11:07 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:46 PM Publicado: #15
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 14-1 Control 3 Semestre Pimavera 2014 P1. Sea $TEX: $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$$ la tranformación lineal definida por $TEX: \[f(x,y,z)=(-x-2y+2z,-y,-x-3y-4z)\]$ a) (2,0 ptos.) Encontrar una base de IR³ en la que la matriz representante de la transformación lineal sea diagonal. b) (2,0 ptos.) Calcular $TEX: \[\begin{pmatrix}<br />-1&-2&2\\<br />0&-1&0\\<br />-1&-3&-4\end{pmatrix}^n\]$ c) (2,0 ptos.) ¿Existe una matriz P tal que $TEX: $P^2=\begin{pmatrix}<br />-1&-2&2\\<br />0&-1&0\\<br />-1&-3&-4\end{pmatrix}$$ ? De existir encuéntrela, de lo contrario justifique claramente su respuesta. P2. a) (2,0 ptos.) Demuestre que el coeficiente a_n-1 del polinomio característico de una matriz $TEX: $A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ es igual a $TEX: $\pm\text{tr}(A)$$ , donde tr(A) es la traza de la matriz A. Concluya que la traza es igual a la suma de los valores propios de la matriz. b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ , diagonalizable con tr(A)=-4. Calcular los valores propios de A sabiendo que los valores propios de A²+2A son -1, 3 y 8. c) (1,0 pto.) Sea $TEX: $A=\begin{pmatrix}<br />-1&k\\<br />1&k\end{pmatrix}$$ . Decida para qué valores de k la matriz es diagonalizable sobre IR, y para cuáles no lo es. P3. Considere $TEX: $\mathbb{C}^2$$ como un espacio vectorial sobre IR. Sea $TEX: $T:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2$$ la transformación lineal dada por $TEX: \[T(x_1,x_2)=(2x_1-ix_2,x_1+x_2)\]$ Sean B={(1,0),(0,1),(i,0),(0,i)} y B'={(1,i),(1,-i),(i,1),(i,-1)}. a) (3,0 ptos.) Calcule la matriz representante e la transformación lineal T_BB. b) (3,0 ptos.) Calcule, usando a) y matrices de cambio de base, las matrices representantes de la transformación lineal, T_B'B, T_BB', T_B'B'. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 19 2014, 02:47 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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