Controles 3 Álgebra Lineal - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Álgebra Lineal

2 Páginas:

1 2 >

Reply to this topic

Start new topic

Controles 3 Álgebra Lineal, Nueva

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:21 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Listo. Dudas, preguntas, aclaraciones, sugerencias por MP. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Oct 17 2014, 10:26 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:22 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 07-2 Control 3 Semestre Pimavera 2007 P1. a) (4,0 ptos.) Dada la ecuación: $TEX: \[ax^2+by^2+xy+\sqrt{2}\left(a-\frac{1}{2}\right) x-\sqrt{2}\left( a-\frac{1}{2}\right) y=1\]$ determine todos los valores de $TEX: $a$$ tales que la ecuación corresponda a: Elipse. Circunferencia. Hipérbola. Parábola. Recta o rectas. Un punto. Conjunto vacío. b) (2,0 ptos.) Para $TEX: $a=\frac{3}{2}$$ , bosqueje el gráfico del lugar geométrico que define la ecuación de la parte a). P2. a) (3,0 ptos.) Dada la matriz $TEX: \[A=\begin{pmatrix}<br />2&0&0&0\\<br />0&0&0&0\\<br />0&0&1&-1\\<br />0&0&-1&1<br />\end{pmatrix}\]$ encuentre la diagonalización en la forma $TEX: $A=PDP^t$$ . b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $M\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ simétrica y $TEX: $\{ z_1,\dots,z_n\}$$ una base ortogonal de IRⁿ, de vectores propios de M, asociados a los valores propios $TEX: $\lambda_1,\dots,\lambda_n$$ respectivamente. Pruebe que $TEX: $\{z_1,\dots,z_n\}$$ es también una base ortogonal de vectores propios de la matriz $TEX: \[C=M+z_1 z_1^t\]$ Determine los valores propios asociados. P3. a) Sea U el subespacio vectorial de IR⁴ generado por el conjunto: $TEX: \[\left\{\begin{pmatrix}<br />-1\\<br />1\\<br />-1\\<br />1<br />\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}<br />1\\<br />-1\\<br />1\\<br />1<br />\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}<br />2\\<br />-2\\<br />2\\<br />1<br />\end{pmatrix}\right\}\]$ a.1) (1,5 ptos.) Determine una base ortonormal de U. a.2) (1,5 ptos.) Determine una base ortonormal de $TEX: $U^\perp$$ b) Sean $TEX: $V,W\subseteq\mathbb{R}^n$$ subespacios vectoriales. Sean además P_V y P_W las proyecciones ortogonales sobre V y W, respectivamente Suponga que $TEX: $P_V\circ P_W = P_W\circ P_V$$ . b.1) (1,0 ptos.) Pruebe que $TEX: $P_W (V)\subseteq V$$ . b.2) (1,0 ptos.) Pruebe que si $TEX: $z\in V^\perp$$ , entonces $TEX: $P_V\circ P_W (z)=0$$ . b.3) (1,0 ptos.) Concluya que $TEX: $P_W (V^\perp)\subseteq V^\perp$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 19 2014, 02:54 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:23 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Falta. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:26 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 08-2 Control 3 Semestre Pimavera 2008 P1. Considere la matiz $TEX: $A=\begin{pmatrix}<br />1&2&\alpha\\<br />2&1&\beta\\<br />2&2&\gamma<br />\end{pmatrix}$$ , con $TEX: $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{R}$$ . (1,0 pto.) Determine los valores de $TEX: $\alpha, \beta$$ , y $TEX: $\gamma$$ sabiendo que $TEX: $\lambda=3$$ es un valor propio de A y v=(1,1,1) es su vector propio asociado. (5,0 ptos.) Incorporando los valores determinados en i para $TEX: $\alpha, \beta$$ , y $TEX: $\gamma$$ , demuestre que A es diagonalizable y calcule P invertible y D diagonal tal que A=PDP^-1. P2. Dada la matriz $TEX: $A=\begin{pmatrix}<br />2&2&-1\\<br />2&-1&2\\<br />-1&2&2<br />\end{pmatrix}$$ se sabe que $TEX: $\lambda=3$$ y $TEX: $\lambda=-3$$ son sus únicos valores propios. (2,0 ptos.) Encuentre una base ortonormal de vectores propios de A. (4,0 ptos.) Dtermine el polinomio característico de A. P3. a) (1,5 ptos.) Sean $TEX: $A,B\ \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ . Si $TEX: $A$$ es invertible, muestre que AB y BA tienen el mismo polinomio característico. b) (1,5 ptos.) Dada $TEX: $A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ diagonalizable, pruebe que si A tiene sólo un valor propio, entonces $TEX: $A=\alpha I,\ \alpha\in\mathbb{R}$$ . c) (1,5 ptos.) Sea $TEX: $A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ diagonalizable y tal que $TEX: $\exists k\in\mathbb{N}$$ , A^k=0. Demuestre que A=0. d) (1,5 ptos.) Para $TEX: $A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ diagonalizable, es decirA=PDP^-1 con P invertible y D diagonal, pruebe que A^T es diagonalizable y que las columnas de de (P^T)^-1 forman una base de vectores propios de A^T. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 20 2014, 07:13 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:27 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Falta. (Alma caritativa que tenga, aporte.) -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:28 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 09-2 Control 3 Semestre Pimavera 2009 P1. Considere la matriz $TEX: $A\in\mathcal{M}_{4\times 4}(\mathbb{R})$$ definida por $TEX: \[A=\begin{pmatrix}<br />3&-1&-1&-1\\<br />-1&3&-1&-1\\<br />-1&-1&3&-1\\<br />-1&-1&-1&3<br />\end{pmatrix}\]$ (1,0 pto.) Verifique que v= (1,1,1,1) es vector propio de A y calcule su valor propio asociado. (4,0 ptos.) Si se sabe que $TEX: $\lambda =4$$ es valor propio de A, encuentre una base ortonormal de vectores propios de A. (1,0 pto.) Encuentre el polinomio característico de A. P2. (6,0 ptos.) Sea $TEX: $\alpha\in\mathbb{R}$$ y considere la siguiente ecuación: $TEX: \[(\alpha+2)x^2+(\alpha+2)y^2+2\alpha xy=0\]$ Determine, cuando existan, los valores del parámetro $TEX: $\alpha$$ para los cuales la ecuación representa Circunferencia. Parábola. Elipse. Hipérbola. Recta o rectas. Un punto Conjunto vacío. Señale explícitamente, qué cónicas o conjuntos de los indicados no pueden ser representados por la ecuación dada para ningún valor de $TEX: $\alpha\in\mathbb{R}$$ . P3. a) (3,0 ptos.) Completar los elementos faltantes de la matriz $TEX: $A\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ dada por $TEX: \[A=\begin{pmatrix}<br />2&6\\<br />-&-<br />\end{pmatrix}\]$ de modo que admita a v₁=(3,1) y a v₂=(2,1) como vectores propios. b) (3,0 ptos.) Encuentre una matriz $TEX: $B\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ con los mismos vectores propios v₁ y v₂ del punto a) y valores propios $TEX: $\lambda_1 = 1$$ asociado a v₁ y $TEX: $\lambda_2 = 0$$ asociado a v₂. Calcule, además, B¹⁰. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 20 2014, 07:17 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:28 PM Publicado: #7
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	No ta. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:29 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	No ta. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:30 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 19 2014, 02:31 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 02:31 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 11-2 Control 3 Semestre Pimavera 2011 P1. Considere el conjunto $TEX: $B=\{(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)\}$$ y $TEX: $T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$$ la transformación lineal que satisface las condiciones siguientes: $TEX: \[T(1,0,0,0)=(1,1,1,0),\qquad T(1,1,0,0)=(1,1,1,1)\qquad\text{y}\qquad \ker (T)=\text{Im}(T)\]$ (0,5 ptos.) Pruebe que B es base de IR⁴. (1,5 ptos.) Demuestre que una base de ker(T) es {(1,1,1,0),(1,1,1,1)}. (2,0 ptos.) Calcule la matriz representante de T cuando se ocupa B como base en la partida y en la llegada. (2,0 ptos.) Calcule la matriz representante de T cuando se ocupa la base canónica en la partida y en la llegada. P2. Sea $TEX: $\Pi$$ el plano en IR³ de ecuación caractesiana $TEX: $\Pi : x_1 +x_2 +x_3 =0$$ y sea $TEX: $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$$ la función defnida por $TEX: $T(x) = \mbox{sim\'etrico de $x$ con respecto a $\Pi$}$$ . (1,5 ptos.) Demuestre que $TEX: $T(x_1,x_2,x_3)= (x_1,x_2,x_3)-\frac{2}{3}(x_1+x_2+x_3)(1,1,1)$$ . (1,5 ptos.) Muestre que T es lineal. (1,5 ptos.) Sea A la matriz representante de la transformación T con respecto a las bases canónicas. Calcule A. (1,5 ptos.) Demuestre que el polinomio característico de A es $TEX: $p(\lambda)=-(\lambda -1)^2(\lambda+1)$$ . Pruebe que A es diagonalizable y encuentre P invertible y D diagonal tal que A=PDP^-1. P3. Sea m=2n con $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ y considere $TEX: $\mathcal{P}_m(x)$$ el conjunto de todos los polinomios $TEX: $p(x) = a_0 +a_1 x+\dots +a_m x^m$$ , de grado menor o igual que m con coeficientes en IR. Se define el conjunto $TEX: \[V=\{p(x)\in\mathcal{P}_m(x)\mid i\in\{0,\dots ,m\},\ a_i=a_{m-i}\}\]$ (1,5 ptos.) Probar que V es subespacio vectorial de $TEX: $\mathcal{P}_m(x)$$ sobre IR. (1,5 ptos.) Encontrar una base de V y deduzca que su dimensión es n+1. (1,5 ptos.) Probar que $TEX: $\mathcal{P}_m(x)= V\oplus \mathcal{P}_{n-1}(x)$$ (1,5 ptos.) Se define $TEX: \[V^\prime=\{p(x)\in\mathcal{P}_m(x)\mid i\in\{0,\dots ,m\},\ a_i=-a_{m-i}\}\]$ Probar que $TEX: $\mathcal{P}_m(x)= V\oplus V^\prime$$ asumiendo que $TEX: $V^\prime$$ es subespacio vectorial de $TEX: $\mathcal{P}_m(x)$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 20 2014, 07:33 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

« Posterior · Álgebra Lineal · Anterior »

2 Páginas:

1 2 >

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 05:19 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.