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Controles 2 Álgebra Lineal, Nueva Malla y Más Allá.

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 11:07 AM Publicado: #11
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 11:12 AM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 12-2 Control 2 Semestre Primavera 2012 P1. (6,0 ptos.) Sea $TEX: $\Pi$$ un plano y $TEX: $L\subseteq \Pi$$ una recta y sea $TEX: $P\in\mathbb{R}^3$$ un punto cualquiera. Denotamos por R a la proyección ortogonal de P sobre el plano $TEX: $\Pi$$ y Q a la proyección ortogonal de P sobre la recta L. Demuestre que si $TEX: $R\neq Q$$ , entonces la recta que pasa por los puntos R y Q es perpendicular a la recta L. P2. Sean $TEX: $n\in\mathbb{N},\ n\geq 1$$ y W definido por $TEX: \[W=\{A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid A\text{ es sim\'etrica y }\sum_{i=0}^n a_{ii}=0\}\]$ a) (2,0 ptos.) Probar que W es s.e.v. de $TEX: $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ . b) (4,0 ptos.) Considere n=3 y las siguientes matrices en $TEX: $\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ : $TEX: \[A=\begin{pmatrix}<br />0 & 1 & 0\\<br />1 & 0 & 0\\<br />0 & 0 & 0<br />\end{pmatrix}\: B=\begin{pmatrix}<br />0 & 0 & 1\\<br />0 & 0 & 0\\<br />1 & 0 & 0<br />\end{pmatrix}\: C=\begin{pmatrix}<br />0 & 0 & 0\\<br />0 & 0 & 1\\<br />0 & 1 & 0<br />\end{pmatrix}\: D=\begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0\\<br />0 & 0 & 0\\<br />0 & 0 & -1<br />\end{pmatrix}\: E=\begin{pmatrix}<br />0 & 0 & 0\\<br />0 & 1 & 0\\<br />0 & 0 & -1<br />\end{pmatrix}\]$ Pruebe que $TEX: $W=\langle\{A, B, C, D, E\}\rangle$$ . P3. a) (2,0 ptos.) Considere el espacio vectorial $TEX: $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ y $TEX: $a\in\mathbb{R}$$ . Se define $TEX: \[W_a =\{A\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid \text{Traza}(A)=a\}\]$ donde $TEX: \[\text{Traza}(A)=\sum_{i=0}^n a_{ii}\ \text{(la suma de los elementos de la diagonal de $A$)}\]$ Pruebe que W_a es s.e.v de $TEX: $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$$ si y sólo si a=0. b) (2,0 ptos.) Sea $TEX: $\mathcal{P}_n$$ el espacio vectorial de los polinomios con coefcientes en IR de grado menor o igual que n. Sean $TEX: $p,q\in\mathcal{P}_n$$ tales que $TEX: $\{p, q\}$$ es l.i. Demuestre que $TEX: $\{p,q,p\cdot q\}$$ es l.i. si y sólo si $TEX: $\text{grado}(p) \geq 1$$ y $TEX: $\text{grado}(q) \geq 1$$ . c) (2,0 ptos.) Sean U,V dos s.e.v. de un e.v. V tales que dim(V)=3 y dim(U)=dim(W)=2, con $TEX: $U\neq W$$ . Demuestre que $TEX: $\text{dim}(U \cap W) = 1$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 11:17 AM Publicado: #13
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 11:21 AM Publicado: #14
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 13-2 Control 2 Semestre Primavera 2013 P1. a) (1,0 pto.) Sea $TEX: $P\in\mathbb{R}^3$$ un punto y $TEX: $L\subseteq\mathbb{R}^3$$ una recta de vector posición A y vector diector d (P $TEX: $\notin$$ L). Determine el punto Q, simétrico de P conrespecto a L. b) (3,0 ptos.) Considere las rectas $TEX: $L:x=A+\lambda d,\ \lambda\in\mathbb{R}$$ y $TEX: $L^\prime : x = B + \mu d^\prime,\ \mu\in\mathbb{R}$$ . Demuestre que el conjunto de puntos simétricos de cada punto de L' con respecto a L es una recta y determine su ecuación vectorial. c) (2,0 ptos.) Para el caso particular de las rectas $TEX: \[L=\begin{pmatrix}<br />0\\<br />0\\<br />1<br />\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}<br />1\\<br />0\\<br />0<br />\end{pmatrix}\ \text{ y }\ L^\prime=\begin{pmatrix}<br />1\\<br />0\\<br />0<br />\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}<br />-1\\<br />1\\<br />0<br />\end{pmatrix}\]$ escriba la ecuación vectorial de la recta descrita en el punto b). P2. a) Considere la función $TEX: $T:\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ definida por $TEX: \[T(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=\begin{pmatrix}<br />a_1-a_3 & a_0\\<br />2a_0-2a_1+a_2-a_3 & a_0+a_2-3a_3<br />\end{pmatrix}\]$ (1,0 pto.) Demuestre que T es una transformación lineal. (3,0 ptos.) Determinar bases y dimensiones de ker(T) e Im(T). b) (2,0 ptos.) Sean V y W espacios vectoriales sobre IR de dimensiones m y n respectivamente. Se define el espacio vectorial $TEX: $V\times W$$ con las operaciones $TEX: \[(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)\text{ y }\lambda(v,w)=(\lambda v,\lambda w)\]$ Pruebe que $TEX: $\text{dim}(V\times W)=m+n$$ . P3. Sea V el espacio vectorial de las matrices de 3 x 3 con coeficientes reales, definido por $TEX: \[V=\left\{A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\mid A=\begin{pmatrix}<br />a&b&c\\<br />0&d&e\\<br />0&0&f<br />\end{pmatrix}\right\}\]$ (espacio de las matrices triangulares superiores). Se define $TEX: $W=\{A\in V\mid \text{la suma de cada fila de A es cero.}\}$$ . (2,0 ptos.) Pruebe que W es subespacio vectorial de V. (1,0 pto.) Pruebe que $TEX: <br />\[G=\left\{\begin{pmatrix}<br />1&0&-1\\<br />0&0&0\\<br />0&0&0<br />\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}<br />0&1&-1\\<br />0&0&0\\<br />0&0&0<br />\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}<br />0&0&0\\<br />0&1&-1\\<br />0&0&0<br />\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}<br />1&-1&0\\<br />0&0&0\\<br />0&0&0<br />\end{pmatrix}\right\}\]$ es un generador de W. (1,0 pto.) Extraiga de G una base para W. (2,0 ptos.) Sea $TEX: $U=\{B\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\mid\text{B es diagonal}\}$$ . Pruebe que $TEX: $V=W\oplus U$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Jul 19 2014, 11:35 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2014, 11:34 AM Publicado: #15
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Álgebra Lineal 14-1 Control 2 Semestre Otoño 2014 P1. a) Sea $TEX: $L_1:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \exists \lambda\in\mathbb{R},\ (x,y,z)=\lambda(1,2,3)+(1,5,4)\}$$ (2,0 ptos.) Hallar la ecuación vectorial de la recta L₂ tal que es perpendicular a L₁ y contene al punto (1,1,2). Calcular la distancia entre L₂ y el punto (3,0,2). (1,0 pto.) Hallar la ecuación normal del plano $TEX: $\Pi$$ que contiene a L₁ y L₂. b) (1,0 pto.) Encontar la ecuación normal del plano $TEX: $\Pi^\prime$$ que contiene a los puntos (1,0,0), (0,0,2), (0,-2,0). Indicación: corrobore que los tres puntos anteriores satisfagan la ecuación encontrada. (1,0 pto.) Sea L la recta de ecuación $TEX: $L:(x,y,z)=\lambda(1,-2,1)+(3,4,0),\ \lambda\in\mathbb{R}$$ . Encontrar las coordenadas de $TEX: $P=\Pi^\prime\cap L$$ . (1,0 pto.) Hallar la ecuación del plano $TEX: $\Pi^{\prime\prime}$$ que es paralelo a $TEX: $\Pi^\prime$$ y cumple que $TEX: $d(P,Q)=9$$ , donde $TEX: $Q=\Pi^{\prime\prime}\cap L$$ . Indicación: Encuentre primero una ecuación genérica para $TEX: $\Pi^\prime$$ y Q, para luego imponer la condición de distancia entre P y Q. P2. a) (3,0 ptos.) Considere en $TEX: $\mathbb{R}^2$$ las siguientes operaciones: $TEX: \[\forall\begin{pmatrix}<br />x\\<br />y<br />\end{pmatrix},\begin{pmatrix}<br />x^\prime\\<br />y^\prime<br />\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2, \begin{pmatrix}<br />x\\<br />y<br />\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix}<br />x^\prime\\<br />y^\prime<br />\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br />x+x^\prime-2\\<br />y+y^\prime-1<br />\end{pmatrix}\]$ $TEX: \[\forall\begin{pmatrix}<br />x\\<br />y<br />\end{pmatrix},\forall\lambda\in\mathbb{R}, \lambda\odot\begin{pmatrix}<br />x\\<br />y<br />\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}<br />x-2\\<br />y-1<br />\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}<br />2\\<br />1<br />\end{pmatrix}\]$ Demuestre que X dotado de las operaciones anteriores es un e.v. sobre IR. b) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $V=\mathcal{P}_5(\mathbb{R})$$ el espacio vectorial de los polinomios con grado menor o igual que 5 con coeficientes en IR. Demuestre que $TEX: $W=\{p\in\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\mid p^\prime(x)+p^{\prime\prime}(x)=0\}$$ es un subespacio vectorial de V. Encuentre una base de este subespacio y calcule la dimensión del mismo. P3. (2,0 ptos.) $TEX: $S = \{(x_{ij})\mid x_{ij}=x_{ji}\}$$ y $TEX: $T=\{(x_{ij})\mid x_{11}+x_{12}+x_{13}=0\}$$ , subespacios de $TEX: $\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$$ . Hallar un conjunto generador de $TEX: $S\cap T$$ . (2,0 ptos.) Hallar los valores de k para los que $TEX: $\{kx^2+x,x^2-k,k^2x\}$$ es un conjunto linealmente independiente de $TEX: $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$$ . (2,0 ptos.) Sea $TEX: \begin{align}<br />x_1+x_2-2x_3+x_4&=0\\<br />3x_1-2x_2+x_3+5x_4&=0\\<br />x_1-x_2+x_3+2x_4&=0<br />\end{align}$ Calcule la solución del sistema. Demuestre que el conjunto de soluciones es un subespacio de IR⁴, calcule una base y la dimensión del mismo. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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