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LV IMO (2014), Ciudad del Cabo, Sudáfrica

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2014, 09:22 AM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	55ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Ciudad del Cabo, Sudáfrica Primera Prueba: Martes 08 de julio de 2014 Problema 1: Sean $TEX: $a_0<a_1<\ldots$$ una sucesión infinita de enteros positivos. Pruebe que existe un único entero $TEX: $n\ge1$$ tal que $TEX: $a_n<\dfrac{a_0+a_1+\ldots+a_n}{n}\le a_{n+1}$$ Problema 2: Sea $TEX: $n\ge2$$ un entero. Considere un tablero de ajedrez de $TEX: $n\times n$$ , de $TEX: $n^2$$ casillas. Una configuración de $TEX: $n$$ torres es pacífica si cada fila y cada columna contiene exactamente una torre. Encuentre el mayor entero positivo $TEX: $k$$ tal que, para toda configuración pacífica de $TEX: $n$$ torres, existe un cuadrado de $TEX: $k\times k$$ que no contiene torres en ninguna de sus $TEX: $k^2$$ casillas. Problema 3: Considere un cuadrilátero convexo $TEX: $ABCD$$ tal que $TEX: $\angle ABC = \angle CDA = 90^o$$ . Sea $TEX: $H$$ el pie de la perpendicular desde $TEX: $A$$ hasta $TEX: $BD$$ . Sean $TEX: $S$$ y $TEX: $T$$ puntos sobre los lados $TEX: $AB$$ y $TEX: $AD$$ , respectivamente, tales que $TEX: $H$$ se encuentra en el interior del triángulo $TEX: $SCT$$ y $TEX: $\angle CHS-\angle CSB = 90^o, \angle THC-\angle DTC = 90^o$$ Demuestre que la recta $TEX: $BD$$ es tangente al circuncírculo del triángulo $TEX: $TSH$$ . Segunda Prueba: Miércoles 09 de julio de 2014 Problema 4: Considere un triángulo acutángulo $TEX: $ABC$$ , $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ puntos sobre el lado $TEX: $BC$$ tales que $TEX: $\angle PAB=\angle BCA$$ y $TEX: $\angle CAQ=\angle ABC$$ . Sean $TEX: $M$$ y $TEX: $N$$ puntos sobre $TEX: $AP$$ y $TEX: $AQ$$ , respectivamente, tales que $TEX: $P$$ es el punto medio de $TEX: $AM$$ y $TEX: $Q$$ es el punto medio de $TEX: $AN$$ . Demuestre que la intersección entre $TEX: $BM$$ y $TEX: $CN$$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita al triángulo $TEX: $ABC$$ . Problema 5: Para cada entero positivo $TEX: $n$$ , el Banco de Ciudad del Cabo expide algunas monedas de valor $TEX: $\frac{1}{n}$$ . Considere una colección finita de tales monedas (las monedas no tienen necesariamente valores distintos) tal que la suma de sus valores es menor a $TEX: $99+\frac{1}{2}$$ . Pruebe que es posible dividir la colección en a lo más 100 grupos, tales que la suma de los valores de las monedas en cada grupo no exceda 1. Problema 6: Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no existe ningún par de rectas paralelas y no existen tres de ellas pasando por un mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general divide al plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; llamamos a estas regiones sus regiones finitas. Muestre que para todo natural suficientemente grande $TEX: $n$$ , en cualquier conjunto de $TEX: $n$$ rectas en posición general es posible colorear al menos $TEX: $\sqrt{n}$$ rectas de azul de tal modo que ninguna de sus regiones finitas tenga su frontera completamente pintada de azul. Nota: a los resultados con $TEX: $c\sqrt{n}$$ en lugar de $TEX: $\sqrt{n}$$ se les adjudicarán puntos dependiendo del valor de la constante $TEX: $c$$ . Mensaje modificado por Killua el Jul 9 2014, 08:18 AM Razón de edición: publicación de la segunda prueba -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Yonekura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 12 2014, 02:30 AM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 8 Registrado: 2-July 13 Miembro Nº: 120.213 Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 4 Mensaje modificado por Yonekura el Jul 12 2014, 02:32 AM Archivo(s) Adjunto(s) DSC00995.JPG ( 4.33mb ) Número de descargas: 13 DSC00994.JPG ( 4.48mb ) Número de descargas: 5

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2015, 08:50 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pe1 Veamos que de existir dicho n, entonces ningun termino despues del n-esimo, satisface. En efecto, si dicho n satisface, entonces: $TEX: $a_n<\displaystyle\frac{a_0+...+a_n}{n}\leq a_{n+1}\Leftrightarrow n\cdot a_n<a_0+...+a_n\leq n\cdot a_{n+1}$$ tomando el lado derecho de la desigualdad $TEX: $a_0+...+a_n+a_{n+1}\leq (n+1)\cdot a_{n+1}$$ lo que equivale a $TEX: $\displaystyle\frac{a_0+...+a_{n+1}}{n+1}\leq a_{n+1}$$ , lo que implica que si n satisface, entonces n+1 no satisface. Veamos que n+2 tampoco satisface, en efecto $TEX: $a_0+...+a_{n+1}\leq (n+1)\cdot a_{n+1}$$ de donde $TEX: $a_0+...+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}\leq (n+1)\cdot a_{n+1}+a_{n+2}<(n+1)a_{n+2}+a_{n+2}=(n+2)\cdot a_{n+2}$$ (la ultima desigualdad, sale de la monotonía de la sucesión) lo que equivale a $TEX: $\displaystyle\frac{a_0+...+a_{n+2}}{n+2}\leq a_{n+2}$$ lo que implica que n+2 no satisface. Luego inductivamente tenemos que ninguno de los términos de la sucesión que vienen, satisface (propuesto). De manera análoga se prueba que ningun termino antes del n-esimo satisface Ahora probaremos la existencia. En efecto, supongamos que ninguno cumple la propiedad. Como n=1 no satisface entonces $TEX: $a_0+a_1>a_2$$ , de esto tenemos que $TEX: $a_0+a_1+a_2>2a_2$$ . Como 2 no satisface, entonces $TEX: $a_0+a_1+a_2>2a_3$$ pero como $TEX: $a_0+a_1>a_2$$ entonces $TEX: $2(a_0+a_1)>a_0+a_1+a_2>2a_3$$ de donde $TEX: $a_0+a_1>a_3$$ . Supongamos que $TEX: $a_0+a_1>a_m$$ (i) para todos los naturales desde 4 hasta m. De esto tenemos que m no satisface, entonces $TEX: $a_0+...+a_m>m\cdot a_{m+1}$$ , luego por (i) para los naturales desde 2 hasta m tenemos que $TEX: $(a_0+a_1)+...+(a_0+a_1)>(a_0+a_1)+a_2+...+a_m>m\cdot a_{m+1}$$ de donde $TEX: $m\cdot(a_0+a_1)>m\cdot a_{m+1}\Leftrightarrow a_0+a_1>a_{m+1}$$ , es decir $TEX: $a_0+a_1>a_n$$ para todo $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ , lo que equivale a decir que la sucesión $TEX: $(a_n)$$ infinita de enteros positivos creciente es acotada superiormente, contradicción. Mensaje modificado por asdayuyi el Aug 28 2015, 09:10 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2015, 08:56 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Falso. Consideremos la secuencia: 3, 4, 5, 6, ... que claramente no sirve n=1. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2015, 09:11 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Cierto!! En cualquier caso, la demo no varia mucho. Basta probar que los terminos antes del n-esimo no satisfacen si n satisface (la demo es analoga) y luego suponer que ninguno cumple la propiedad editado saludines bbs Mensaje modificado por asdayuyi el Aug 28 2015, 09:13 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 28 2015, 09:21 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Esa parte es en esencia lo mismo que hice para probar que existía una solución, demostré con inducción fuerte que la sucesión tendría que ser acotada superiormente por $TEX: \(a_0+a_1\)$ -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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