Fecha 2. CEMAT 2007. VIII Región. M2, Grupal Opciones

[Sei]

Problema 1.
El anciano Abuelo Anacleto tiene 10 hijos. Estos le dieron 70 nietos, los cuales han procreado ya 300 bisnietos. Anacleto lleva la cuenta exacta de sus tataranietos, que son 417 (hasta el momento). Demostrar que al menos 2 de los tataranietos del abuelo celebran su cumpleaños el mismo día del año.


Problema 2.
Considerar un triángulo isósceles , con . Sean puntos en los lados y , respectivamente, tales que y . Encontrar la medida del ángulo .


Problema 3.
Determinar cuántas veces aparece el dígito 1 en la siguiente lista de números:

Problema 4.
Ordenar de menor a mayor las siguientes cantidades:

, , ,

Problema 5.
Considerar un mini tablero de ajedrez de 5 x 5 como el de la figura:

Hay una hormiga en el casillero marcado con una X. La hormiga camina sobre el tablero, pasando a cualquier casillero adyancete horizontal o verticalmente (no en diagonal). Determinar si la hormiga puede partir de la posición X, pasar una y solo una vez por cada casillero del tablero, para finalmente volver a su posición inicial.

Mensaje modificado por Francisco Muñoz el May 13 2007, 11:47 PM

[Zirou]

P1

Si tenemos que un año tiene 365 dias y Anacleto tiene 417 tatara nietos Por el Principio del Palomar al menos en 417-365=52 dias habran 2 tataranietos de cumpleaños.

En Conclusion al menos dos comparten el dia de su cumpleaños.

Mensaje modificado por zirou el May 13 2007, 11:58 PM

[sebagarage]

P1

Si tenemos que un año tiene 365 dias y Anacleto tiene 417 tatara nietos Por el Principio del Palomar al menos 417-365=52 de ellos tendran su cumpleaños el mismo dia.

En Conclusion al menos dos comparten el dia de su cumpleaños.

Creo que ó tienes una confusión con el principio del palomar ó redactaste un poco mal. El hecho es que no es verdad que al menos 52 tendrán su cumpleaños el mismo día. Revísalo.
Saludos.

[Zirou]

Creo que ó tienes una confusión con el principio del palomar ó redactaste un poco mal. El hecho es que no es verdad que al menos 52 tendrán su cumpleaños el mismo día. Revísalo.
Saludos.

error de redacción, ojalá ahora si.

Mensaje modificado por zirou el May 14 2007, 12:00 AM

[Sei]

si xD ahi si

[sebagarage]

P1

Si tenemos que un año tiene 365 dias y Anacleto tiene 417 tatara nietos Por el Principio del Palomar al menos en 417-365=52 dias habran 2 tataranietos de cumpleaños.

Vas a odiarme pero la afirmación sigue siendo falsa, pues podría darse el caso que todos estuvieran de cumpleaños el mismo día por ejemplo.
Por otro lado sería bueno que no llegaras y dijeras por principio del palomar, sino que dieras una justificación del hecho, pues depende de la pauta de corrección o quizás del corrector si es que tu respuesta merece el total del puntaje.
Saludos (y disculpa por ser tan cargante).

[Jelagosm]

¡El del triángulo yo pude resolverlo!

Me costó, pero pude.

Era así:

Se formaban cuatro triángulos isóceles, ABC, con vértice en A, ADE con vértice en D, BDE con vértice en D y CBE con vértice en C.

En el triángulo ADE, el ángulo ADE, precisamente, es igual a 180-(DAE+ADE).

En el triángulo ABC, el ángulo ABC = ACB.

En el triángulo ABC, el ángulo ABC = DBE+CBD (de los triángulos BDE y BCD, respectivamente).

Se cumple entonces que DBE+CBD = ACB

También DBE+CBD = BED+CDB (por ser estos triángulos isóceles)

Además, el ángulo ADE, vértice del triángulo de ese nombre, es = 180-(BED+CDB) = 180-ACB

Se cumple también que ADE=180-2(DAE)

Por lo tanto: 2 (DAE) = ACB

Entonces la suma de los ángulos de igual medida del triángulo ABC miden cada uno 2 veces el ángulo, del vértice, y dado que sumados dan 180, se da la siguiente ecuación, donde x=ángulo BAC

180=5x
36=x

Los ángulos del triángulo ABC miden:

BAC=36º
ABC=72º
ACB=72º

[Sei]

Vas a odiarme pero la afirmación sigue siendo falsa, pues podría darse el caso que todos estuvieran de cumpleaños el mismo día por ejemplo.
Por otro lado sería bueno que no llegaras y dijeras por principio del palomar, sino que dieras una justificación del hecho, pues depende de la pauta de corrección o quizás del corrector si es que tu respuesta merece el total del puntaje.
Saludos (y disculpa por ser tan cargante).

entonces seria un problema de redaccion nada más... habria que decir algo como "al menos 2 tataranietos cumplen años el mismo día", por lo que queda adentro la posibilidad de que los 57 cumplan años el mismo día

[sebagarage]

entonces seria un problema de redaccion nada más... habria que decir algo como "al menos 2 tataranietos cumplen años el mismo día", por lo que queda adentro la posibilidad de que los 57 cumplan años el mismo día

Correcto.
Para justificarlo supongamos que no hubieran al menos dos tataranietos que celebran su cumpleaños el mismo día. Entonces a lo más podría celebrarlo un tataranieto por día. Pero como todos celebran su cumpleaños, entonces deberían haber al menos 417 días distintos en el año (pues son 417 tataranietos), pero en el año sólo hay 365 días (366 los bisiestos). Se produce una contradicción y por tanto se concluye que deben haber al menos dos tataranietos que cumplan con lo dicho.

[patiko_]

jajaja yo me akuerdo ke tube ke aser el P5 i era mas facil
por lo kmenos yo lo enkontre facil
se supone ke en ese kuadrado no se puede kumplir lo pedido por ke es un tablero de nunmeros impares(5x5)
i ai di explikaciones i no s eke mas
xDD