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XVI Olimpiada de Matemática Centroamérica y el Caribe, Costa Rica 2014

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 10 2014, 09:38 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	XVI Olimpiada de Matemática Centroamérica y el Caribe Costa Rica Primer día, Martes 10 de Junio, 2014 Problema 1: Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman $TEX: $74$$ . Verifique que $TEX: $2014$$ es tico. ¿Cuál será el próximo año tico?. ¿Cuál será el último año tico de la historia?. Problema 2 Sea $TEX: $ABCD$$ un trapecio de bases $TEX: $AB$$ y $TEX: $CD$$ , inscrito en una circunferencia de centro $TEX: $O$$ . Sea $TEX: $P$$ la intersección de las rectas $TEX: $BC$$ y $TEX: $AD$$ . Una circunferencia por $TEX: $O$$ y $TEX: $P$$ corta a los segmentos $TEX: $BC$$ y $TEX: $AD$$ en los puntos interiores $TEX: $F$$ y $TEX: $G$$ respectivamente. Pruebe que $TEX: $BF=DG$$ . Problema 3: Sean $TEX: $a,b,c$$ y $TEX: $d$$ números reales todos distintos entre sí, tales que: $TEX: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4$$ y $TEX: $ac=bd$$ Determine el máximo valor posible de: $TEX: $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$$ Segundo día, Miércoles 11 de Junio, 2014 Problema 4: Con cuadrados de lado $TEX: $1$$ se forma en cada etapa una figura en forma de escalera, siguiendo el patrón del dibujo: OMCC.png ( 5.45k ) Número de descargas: 6 Por ejemplo, la primera etapa utiliza $TEX: $1$$ cuadrado, la segunda utiliza $TEX: $5$$ , etc. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de $TEX: $2014$$ cuadrados. Problema 5: Se marcan los puntos $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ , $TEX: $C$$ y $TEX: $D$$ sobre una recta, en ese orden, con $TEX: $AB$$ y $TEX: $CD$$ mayores que $TEX: $BC$$ , se construyen triángulos equiláteros $TEX: $\triangle APB$$ , $TEX: $\triangle BCQ$$ y $TEX: $\triangle CDR$$ , con $TEX: $P$$ , $TEX: $Q$$ y $TEX: $R$$ en el mismo lado respecto a $TEX: $AD$$ . Si $TEX: $\measuredangle PQR = 120$$ , pruebe que: $TEX: $\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}$$ . Problema 6: Un entero positivo $TEX: $n$$ es divertido si para todo $TEX: $d$$ divisor de $TEX: $n$$ , $TEX: $d+2$$ es un número primo. Encuentre todos los números divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores. Tiempo: 4 horas y media para cada prueba. Mensaje modificado por Niklaash el Jul 9 2015, 12:24 AM

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2014, 10:59 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Problema 2 Vamos a refjejar la circunferencia que pasa por $TEX: $P$$ y $TEX: $O$$ , justamente sobre $TEX: $PO$$ . Vemos que esta corta a $TEX: $BC$$ y $TEX: $AD$$ en $TEX: $D'$$ y $TEX: $F'$$ , respectivamente. Es facil ver que $TEX: $DG=CG'$$ (1) $TEX: $AF'=BF'$$ (2), quisieramos ver que (1)=(2). Al ser $TEX: $\angle OPA=\angle BPO$$ tenemos que las siguientes cuerdas son iguales entre si: $TEX: $OG=OF'=OG'=OF$$ Es decir que esos 4 puntos son conciclicos y tienen como centro a $TEX: $O$$ el mismo centro que la circunscrita al $TEX: $ABCD$$ , luego tenemos que una recta como $TEX: $PA$$ atraviesa ambas circunferencia y el sentido comun dice que los segmentos que quedan cortados en la region anular son iguales. Es decir $TEX: $AF'=DG$$ entonces (1)=(2). Por si falla el sentido comun trace la mediatriz de AD que, si no es la misma que la de $TEX: $F'G$$ y ademas no pasa por O, bueno, entonces estamos en problemas. -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 12 2014, 02:51 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: <br />$ $\\<br />Para el 2 en realidad hay que notar algunos hechos evidentes, como por ejemplo que la simetr\'ia de la figura nos dice que:\\<br />1) $\measuredangle APO=\measuredangle BPO$ y por tanto $OF=OG$.\\<br />2) $PGOF$ es c\'iclico, lo que indica que $\measuredangle PGO=\measuredangle OFB$.\\<br />3) $\measuredangle GDO=\measuredangle GAO=\measuredangle FBO$.\\<br />4) De (1), (2) y (3) tenemos $\Delta GDO\cong\Delta FBO$ (criterio A-L-A).\\<br />As\'i que claramente $GD=BF$.<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Jun 12 2014, 02:53 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2014, 04:50 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	problema 4. $TEX: observando el patron vemos que $a_1=1$, $a_2=1+4$, $a_3=1+4+8$, $a_4=1+4+8+12$ entonces el patrón es \begin{center} $a_n=1+2n(n-1)$ \end{center} Despues imponemos que $a_n \leq 2013$ . Resolviendo la inecuación vemos que se cumple para todo $n \leq 32 $ entonces la ultima etapa es $n=32$$ Mensaje modificado por Lichiel el Jul 6 2014, 05:38 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2014, 07:12 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 4 basado en un AMHSE del 2007. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2014, 06:46 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 3. $TEX: como $ac=bd$ sea $j=\frac{a}{b}$, $j^{-1}=\frac{c}{d}$, $h=\frac{b}{c}$, $h^{-1}=\frac{d}{a}$, vemos que <br />\begin{center} $ j+h+\frac{1}{j}+\frac{1}{h}=4 $ \end{center} <br />sea $x=h+h^{-1}$ y $y=j+j^{-1}$ queremos encontrar <br />\begin{center}$ xy=(h+\frac{1}{h})(j+\frac{1}{j}) $\end{center}<br />entonces $x+y=4$ luego<br />\begin{center} $ x^2+y^2+2xy=16$ \\ $xy=8-\frac{x^2+y^2}{2}$ \end{center}<br />por $MA-MG$ <br />\begin{center} $xy \leq 4 $ \end{center} <br />4 es máximo pues si tomamos $(1,1,1,1)$ se cumple lo pedido<br />$ EDIT: solución mala si 4 es máximo entonces a=b Mensaje modificado por Lichiel el Jul 9 2014, 04:31 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2014, 07:20 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P1 claramente uno de los 3 números debe ser el 2, probando con los primeros numeros primos, llegamos a que los únicos trios que cumplen con lo pedido son: 2-5-67 2-11-61 2-13-59 2-19-53 2-29-43 2-31-41 el producto de c/u de los trios es: 670-1342-1534-2014-2494-2542 entonces, 2014 si es, el prox año será el 2494 y el último será 2542. --------------------

Yonekura Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2014, 03:12 AM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 8 Registrado: 2-July 13 Miembro Nº: 120.213 Colegio/Liceo: Sexo:	Hay un problema en la solución de Lichiel del P3; a, b, c, d son reales distintos entre sí, y además, la Desigualdad de las Medias es válida solo para reales mayores o iguales a 0 A seguir trabajando Mensaje modificado por Yonekura el Jul 8 2014, 03:17 AM

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2014, 10:23 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Yonekura @ Jul 8 2014, 04:12 AM) Hay un problema en la solución de Lichiel del P3; a, b, c, d son reales distintos entre sí, y además, la Desigualdad de las Medias es válida solo para reales mayores o iguales a 0 A seguir trabajando si bien tiene razón con lo que a,b,c,d tienen que ser distintos, te equivocas con todo lo demás . x^2 e y^2 sí son reales positivos por lo tanto MA-MG es aplicable, si no le gusta (x-y)^2>0 ----> x^2+y^2-2xy >= 0 -----> (x^2+y^2)/2>xy buscaré un cuarteto de numeros Mensaje modificado por Lichiel el Jul 8 2014, 10:25 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2014, 05:39 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion P5: Lema: En un $TEX: $\triangle ABC$$ , $TEX: $Z$$ es un punto interior a $TEX: $\overline{AB}$$ . Se traza una recta por $TEX: $A$$ paralela a $TEX: $\overline{CZ}$$ , intersectando a $TEX: $\overleftrightarrow{BC}$$ en $TEX: $X$$ , de manera similar a traves de $TEX: $B$$ se traza una paralela a $TEX: $\overline{CZ}$$ intersectando a $TEX: $\overleftrightarrow{AC}$$ en $TEX: $Y$$ , entonces: $TEX: $\displaystyle \frac{1}{AX}+\frac{1}{BY}=\frac{1}{CZ}$$ Demostracion: Lema.png ( 15.26k ) Número de descargas: 1 De los triangulos semejantes $TEX: $ACZ,AYB$$ y $TEX: $BCZ,BXA$$ se tiene: $TEX: $\displaystyle \frac{AZ}{AB}=\frac{CZ}{YB}$$ (1) $TEX: $\displaystyle \frac{BZ}{AB}=\frac{CZ}{XA}$$ (2) Sumando (1) con (2) se tiene que: $TEX: $\displaystyle 1=CZ \left( \frac{1}{BY} + \frac{1}{AX} \right) \Rightarrow \frac{1}{CZ}=\frac{1}{AX}+\frac{1}{BY}_ {\blacksquare}$$ Solucion al problema: P5_OMCC_2014.png ( 41.44k ) Número de descargas: 1 Sea $TEX: $F \in \overline{RD}$$ de tal manera que $TEX: $\overline{QF}//\overline{AD}$$ , de esto $TEX: $\measuredangle RFQ \cong \measuredangle RCQ = 60$$ , en consecuencia el cuadrilatero $TEX: $QRFC$$ es ciclico con circunferencia circunscrita $TEX: $\mathbb{S}$$ Sea $TEX: $E = \mathbb{S} \cap \overline{CD}$$ , si trazamos los segmentos $TEX: $\overline{QE}$$ y $TEX: $\overline{RE}$$ , se tiene que $TEX: $\measuredangle QCR \cong \measuredangle REQ =60$$ Por otro lado, como $TEX: $\overline{QF}//\overline{CE}$$ , se tiene que los arcos $TEX: $\widehat{EF}=\widehat{QC}$$ , luego $TEX: $\measuredangle QRC \cong \measuredangle ERD \Rightarrow \measuredangle QRE =60$$ y el $TEX: $\triangle QRE$$ es equilatero, de donde $TEX: $\measuredangle EQR=60$$ Ahora, sea $TEX: $G \in \mathbb{S}$$ de tal manera que $TEX: $\overline{GR} // \overline{QF}$$ de esto se tiene que $TEX: $\measuredangle GQF=60$$ , entonces los puntos $TEX: $B,Q,G$$ son colineales y como $TEX: $\measuredangle EGR \cong \measuredangle ECR=60$$ tenemos $TEX: $\overline{GE}//\overline{RD}//\overline{QC}//\overline{PB}$$ . De esto ultimo, aplicando el lema al poligono $TEX: $PBEGQ$$ obtenemos lo pedido. Saludos!!

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