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Controles 3 Cálculo Diferencial e Integral

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:56 PM Publicado: #11
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 12-1 Control 3 Semestre Otoño 2012 P1. Considere la función $TEX: $f:\left[0,\frac{1}{2}\right]\to\mathbb{R}$$ definida por $TEX: \[f(x) = -\ln(1-x^2)\]$ Sea $TEX: $A$$ la región del plano limitada por la curva $TEX: $f(x)$$ y el eje $TEX: $OX$$ para $TEX: $x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]$$ . a) (3,0 ptos.) Calcule el área de la región $TEX: $A$$ . b) (3,0 ptos.) Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar la región $TEX: $A$$ en torno al eje $TEX: $OY$$ . P2. Considere la curva $TEX: $\gamma$$ dada en coordenadas polares por $TEX: $\rho=\rho(\theta)$$ , representada paramétricamente por $TEX: $\vec{r}(t) = (x(\theta),y(\theta))$$ donde $TEX: $x(\theta)=\rho(\theta)\cos(\theta)$$ e $TEX: $y(\theta)=\rho(\theta)\sin(\theta)$$ . (2,0 ptos.) Demuestre que la longitud de $TEX: $\gamma$$ entre $TEX: $\theta_1$$ y $TEX: $\theta_2$$ está dada por $TEX: \[L=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\rho^2(\theta)+\left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\]$ (4,0 ptos.) Determine la longitud de la primera vuelta de la espiral $TEX: $\rho=e^{2\theta}$$ y calcule el valor del ángulo $TEX: $\alpha$$ para que el punto $TEX: $P$$ de la figura divida la primera espiral en dos arcos $TEX: $\widehat{AP}$$ y $TEX: $\widehat{PB}$$ iguales. Figura: FigC3Dif2012otono.png ( 22.62k ) Número de descargas: 0 P3. Considere la curva $TEX: $\Gamma$$ parametrizada por: $TEX: \[\vec{r}(t) = (t,\sqrt{t^2-1},\ln(t+\sqrt{t^2-1})),\quad t\geq 1\]$ (3,0 ptos.) Calcule la longitud de $TEX: $\Gamma$$ en función de $TEX: $t$$ y escriba la parametrización en longitud de arco $TEX: $s$$ . (3,0 ptos.) Calcule $TEX: $T(t),\ N(t)$$ y la curvatura $TEX: $\kappa(t)$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 04:01 PM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 12-2 Control 3 Semestre Primavera 2012 P1. Considere la curva $TEX: $\Gamma$$ parametrizada por $TEX: \[\mathbf{r}(t) = (e^{-t}\sin t,e^{-t}\cos t,e^{-t}),\quad t\in [0,\infty)\]$ (1,0 pto.) Mustre que $TEX: $\Gamma$$ es una curva regular y calcule su longitud total. (5,0 ptos.) Calcule los vectores $TEX: $T,\ N,\ B$$ , la curvatura $TEX: $\kappa(t)$$ y la torsión $TEX: $\tau(t)$$ en cualquier punto de $TEX: $\Gamma$$ . P2. (1,5 ptos.) Demuestre que $TEX: \[\int_0^{\infty} \frac{\cos x}{x^{1/2}+x^2}\,dx\]$ es absolutamente convergente. (1,5 ptos.) Dada la integral $TEX: \[\int_0^1 \ln\left(\frac{1}{1-x}\right)\,dx\]$ identifique su especie y calcúlela usando la definición. Decida si converge. (3,0 ptos.) Calcule la integral impropia mixta $TEX: \[\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{x^2+a^2}\,dx\]$ donde $TEX: $a>0$$ , fijo, separándola como $TEX: $\int_0^a +\int_a^{\infty}$$ y usando en cualquiera de ellas la sustitución $TEX: $x=a^2/y$$ . P3. (2,0 ptos.) Calcular la masa de un alambre cuya forma está dada por la curva $TEX: $\mathbf{r}(t) = (t,t^2,t^3),\ t\in[0,2]$$ y cuya densidad en cada punto es $TEX: $\rho=\rho(x,y,z)=2x+9z$$ . (2,0 ptos.) Calcule la longitud del cardioide $TEX: $\rho(\theta)=R(1+\cos\theta),\ R>0$$ . (2,0 ptos.) Dada la cardioide $TEX: $\rho(\theta)=R-2R\sin\theta,\ R>0$$ , se pide calcular el área de la región achurada (ver figura). Figura: FigC3Dif2012primavera.png ( 31.6k ) Número de descargas: 1 Indicación: Encuentre $TEX: $\theta_0$$ tal que $TEX: $\rho(\theta_0)=0$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 17 2014, 04:02 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 04:49 PM Publicado: #13
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 04:49 PM Publicado: #14
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 13-2 Control 3 Semestre Primavera 2013 P1. a) (3,0 ptos.) Dada la elipse de ecuación $TEX: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$$ , encontrar la superficie del manto sólido de revolución generado al rotar la elipse en torno al eje OX. b) Considere la función $TEX: $f(x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}(3-x)$$ definida en $TEX: $\mathbb{R}_+\cup \{0\}$$ (2,0 ptos.) Determine la longitud de la curva $TEX: $y=f(x)$$ desarrollada en el primer cuadrante entre sus ceros (1,0 pto.) Calcule la superficie del manto del sólido de revolución que se genera al rotar en torno al eje OY la región del primer cuadrante bajo la curva $TEX: $y=f(x)$$ . P2. a) Una partícula recorre la curva $TEX: $\Gamma$$ parametrizada por: $TEX: \[\mathbf{r}(t)=(3\sin(t),4t,3\cos(t)),\quad t\in[0,\infty)\]$ (1,0 pto.) Determine el instante $TEX: $t_0$$ en que la partícula ha recorrido una distancia $TEX: $s=10\pi$$ sobre $TEX: $\Gamma$$ e indique el punto de la curva en que se encuentra la partícula en ese instante. (0,5 ptos.) Deduzca la parametrización en longitud de arco $TEX: $s$$ para $TEX: $\Gamma$$ . (2,5 ptos.) Calcule $TEX: $\mathbf{T}(s),\ \mathbf{N}(s),\ \kappa (s)$$ (curvatura), $TEX: $\forall s\geq 0$$ . b) (2,0 ptos.) Considere la espiral C parametrizada por $TEX: \[\mathbf{r}(\theta)=(e^{-2\theta}\cos(\theta),e^{-2\theta}\sin(\theta)),\quad \theta\in[0,\infty)\]$ Determine la longitud de la primera espira de C y calcule, si es que existe, la longitud total de C. Fundamente su respuesta. P3. a) (3,0 ptos.) Sea $TEX: $f$$ la función definida sobre el intervalo $TEX: $[a,\infty),\ a>0$$ , acotada y con derivada continua. Demuestre que la integral $TEX: \[\int_a^\infty \frac{f^\prime (x)}{x^\alpha}dx\]$ existe si $TEX: $\alpha>0$$ . b) Estudie la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias, indicando su especie: (1,5 ptos.) $TEX: \[\int_0^\infty \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx\]$ (1,5 ptos.) $TEX: \[\int_0^\infty \frac{\sin(2x)}{x}dx\]$ Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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