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Controles 3 Cálculo Diferencial e Integral

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:05 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Seguimos con el asunto . Saludos. Dudas, preguntas, aclaraciones, sugerencias por MP. Mensaje modificado por TribalJazz2 el Oct 17 2014, 10:25 AM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:07 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 07-2 Control 3 Semestre Primavera 2007 P1. a) (3,0 ptos.) Una hormiga, que se encuentra inicialmente en el origen, sube por un alambre parametrizado por las ecuaciones $TEX: \[\mathbf{r} (t) = \begin{pmatrix}<br />t^2 \cos t\\<br />t^2 \sin t\\<br />\frac{1}{\sqrt{3}} t^3<br />\end{pmatrix}\]$ Determine a qué distancia del plano $TEX: $OXY$$ se encuentra la hormiga cuando ha recorrido una distancia $TEX: $d=\frac{14}{3}$$ por el alambre. b) (3,0 ptos.) Una curva está parametrizada por las ecuaciones $TEX: \[\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}<br />a\cos t\\<br />a\sin t\\<br />f(t)<br />\end{pmatrix},\ t\in\mathbb{R}\]$ donde $TEX: $a>0$$ y $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ es una función infinitamente derivable. Determine todas las funciones $TEX: $f$$ de modo que el vector normal a la curva sea siempre peppendicular al eje $TEX: $OZ$$ (es decir que $TEX: $\mathbf{N} (t)\cdot \mathbf{k} = 0$$ , para todo $TEX: $t\in\mathbb{R}$$ ) P2. Considere la función $TEX: $f:\left[0,\frac{1}{2}\right]\to\mathbb{R}$$ definida por $TEX: $f(x) = -\ln(1-x^2)$$ a) (2,0 ptos.) Calcule el largo de la curva $TEX: $\Gamma = \{(x,f(x)) : x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\}$$ . b) (2,0 ptos.) Calcule el volumen del sólido de revolución engendrado por la rotación en torno al eje $TEX: $OY$$ de la región $TEX: $R = \{(x,y):x\in\left[0,\frac{1}{2}\right] ,0\leq y\leq f(x)\}$$ c) (2,0 ptos.) Calcule el área del manto generado por la rotación en torno al eje $TEX: $OY$$ de $TEX: $\Gamma$$ . P3. Un trompo se genera por la rotación en torno al eje $TEX: $OX$$ de la curva $TEX: $OABCD$$ mostrada en la figura. Figura: FigC3Dif2007primavera.png ( 83.63k ) Número de descargas: 0 a) (2,0 ptos.) Escriba, en términos de los datos $TEX: $R$$ y $TEX: $\varphi$$ , las ecuaciones de las funciones que definen los tramos $TEX: $OA$$ , $TEX: $AB$$ y $TEX: $BC$$ de la curva y encuentre las coordenadas de los puntos $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ . b) (2,0 ptos.) Escriba las 3 integrales que permiten calcular el volumen del trompo y calcúlelas. c) (2,0 ptos.) Escriba las 4 integrales que permiten calcular el área total de la superficie exterior del trompo y calcúlelas. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 17 2014, 03:25 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:30 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 08-1 Control 3 Semestre Otoño 2008 P1. a) (3,0 ptos.) Considere la curva definida por la ecuación $TEX: \[\mathbf{r}(t) = \left( t\sin t , t\cos t , \frac{2\sqrt{2}}{3} t^{3/2}\right)\qquad \forall t\in [0,2\pi]\]$ Calcule el largo $TEX: $L$$ y la masa $TEX: $M$$ de la curva, sabiendo que su densidad está dada por la ecuación $TEX: $\rho (x,y,z) = x^2 + y^2$$ . b) (3,0 ptos.) Si $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ es una función dos veces derivable, demuestre que la curvatura $TEX: $\kappa$$ de la curva $TEX: \[\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t, f(t))\quad \forall t\in\mathbb{R}\]$ está dada por la ecuación $TEX: \[\kappa (t) = \frac{\sqrt{1+f^\prime (t)^2 + f^{\prime\prime} (t)^2}}{\left( 1+f^\prime (t)^2\right)^{3/2}}\]$ P2. Determine si las siguientes integrales impropias, son o no convergentes: a) (2,0 ptos.) $TEX: $\int_0^1 \ln(x)\,dx$$ b) (2,0 ptos.) $TEX: $\int_1^{+\infty} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right)^x\,dx$$ c) (2,0 ptos.) $TEX: $\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x(x+\sqrt{x})}$$ P3. Estudie la convergencia (absoluta y condicional) de las siguientes series a) (2,0 ptos.) $TEX: $\sum \cos(k\pi)\sin\left(\frac{1}{k}\right)$$ b) (2,0 ptos.) $TEX: $\sum \frac{2^k k!}{k^k}$$ c) (2,0 ptos.) $TEX: $\sum k^2\left(k^2(\cos\left(\frac{1}{k}\right)-1)\right)^k$$ Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:33 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 08-2 Control 3 Semestre Primavera 2008 P1. Figura: figC3Dif2008.png ( 54.79k ) Número de descargas: 1 a) Considere la región $TEX: $R$$ de la figura. Calcule el área de $TEX: $R$$ . Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de $TEX: $R$$ en torno al eje $TEX: $OY$$ . Calcule el área del manto (total) del sólido de revolución generado por la rotación de $TEX: $R$$ en torno al eje $TEX: $OX$$ . b) (1,5 ptos.) Calcule el largo de la curva $TEX: $y=a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$ entre $TEX: $x=0$$ y $TEX: $x=a$$ . P2. Figura: Dibfmatdif20082.png ( 39.09k ) Número de descargas: 2 a) (2,0 ptos.) Se sabe que el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de una región plana $TEX: $R$$ en torno al eje $TEX: $OY$$ es igual al producto de su área $TEX: $A®$$ por la longitud de la circunferencia descrita por su centro de gravedad $TEX: $2\pi\overline{x}$$ . Usando esto y particiones $TEX: $P$$ del intervalo $TEX: $[\alpha , \beta]$$ , tales que $TEX: $\\|P\\|\to 0$$ , demuestre que el volumen del sólido de revolución generado por la rotaci ́on de la región polar $TEX: $R_p$$ de la figura (que está limitada por la curva de ecuación $TEX: $r = f(\theta)$$ en coordenadas polares y $TEX: $\alpha\leq\theta\leq\beta$$ ) en torno al eje $TEX: $OY$$ , está dada por $TEX: \[\frac{2\pi}{3}\int_{\alpha}^{\beta} f^3 (\theta)\cos \theta\, d\theta\]$ b) (2,0 ptos.) Use el resultado anterior para calcular el volumen del sólido generado por la rotación en torno al eje $TEX: $OY$$ , de la región encerrada por la curva $TEX: $r = a\sin 2\theta$$ (en coordenadas polares), para $TEX: $\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$$ c) (2,0 ptos.) La curva en $TEX: $R^3$$ de parametrización $TEX: $\vec{r}(t) = (\sin^2t,\sin t\cos t,\cos t),\ t\in [0,2\pi]$$ pasa dos veces por el punto $TEX: $(1, 0, 0)$$ . Demuestre que las dos tangentes en ese punto son perpendiculares entre sí. P3. Considere la curva definida por la parametrización: $TEX: \[\vec{r}(t)=(e^{-t}\cos t,e^{-t}\sin t, e^{-t})\quad t\in [0,2\pi] \]$ a) (1,0 pto.) Demuestre que la curva está contenida en el cono de ecuación $TEX: $x^2 + y^2 = z^2$$ . b) (1,5 ptos.) Demuestre que en cada punto de la curva, el vector tangente forma un ángulo constante con el vector $TEX: $\frac{\vec{r}(t)}{\\|vec{r}(t)\\|}$$ . c) (1,5 ptos.) Calcular la longitud de la curva entre $TEX: $t = 0$$ y el instante en que su altura se reduce a la mitad de la inicial. d) (2,0 ptos.) Calcule los vectores normal $TEX: $N(t)$$ y binormal $TEX: $B(t)$$ y a demás la curvatura $TEX: $\kappa (t)$$ y torsión $TEX: $\tau (t)$$ en cada punto de la curva. Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. Mensaje modificado por TribalJazz2 el May 17 2014, 03:36 PM -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:51 PM Publicado: #8
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 10-2 Control 3 Semestre Primavera 2010 P1. a) Considere las funciones reales $TEX: $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$$ y $TEX: $g(x) = mx$$ , done $TEX: $m\in (0,1)$$ . a.1) (1,5 ptos.) Calcule el área de la región $TEX: $R$$ que en el primer cuadrante encierran $TEX: $f$$ y $TEX: $g$$ . a.2) (1,5 ptos.) Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de $TEX: $R$$ en torno al eye $TEX: $OY$$ . b) (3,0 ptos.) Considere la curva en $TEX: $\mathbb{R}^2$$ parametrizada por $TEX: $\mathbf{r}(t) = \left( \int_1^t \frac{\cos u}{u}\,du , \int_1^t \frac{\sin u}{u}\, du\right),\ t\in [1,t_0]$$ . Calcule el largo de la curva entre $TEX: $t=1$$ y $TEX: $t=t_0$$ , sabiendo que $TEX: $t=t_0$$ es el primer instante $TEX: $>1$$ , donde el vector tangente a la curva es vertical. P2. Figura: FigC3Dif2010primavera.png ( 142.75k ) Número de descargas: 0 a) (4,0 ptos.) Calcule el volumen del sólido de la figura, el cual se ha construido del modo siguiente: Su base es el círculo horizontal de ecuación $TEX: $x^2+y^2 = R^2,\ z=0$$ . Para cada $TEX: $\alpha\in [-R,R]$$ , el plano vertical de ecuación $TEX: $x=\alpha$$ (dibujado en gris en la figura), intersecta al sólido en una sección parabólica de eje de simetría vertical con vértice en el punto $TEX: $(\alpha, 0, H)$$ , donde $TEX: $H>0$$ es una constante conocida. Atención: Sólo se ha dibujado la zona comprendida entre $TEX: $x=-R$$ y $TEX: $x=\alpha$$ , sin embargo, el sólido cubre toda su base. Indicación: Comience por calcular el área de la sección parabólica, suponiendo que conoce su base $TEX: $2b(\alpha)$$ . b) (2,0 ptos.) Dos esferas macizas de radios $TEX: $R_1$$ y $TEX: $R_2$$ se les taladran perforaciones cilíndricas de radios $TEX: $r_1$$ y $TEX: $r_2$$ respectivamente, a través de sus centros, generando sólidos de alturas $TEX: $h_1$$ y $TEX: $h_2$$ . Figura: prprp.jpg ( 121.09k ) Número de descargas: 0 Demuestre que si ambos sólios resultantes tienen el mismo volumen, entonces $TEX: $h_1 = h_2$$ . P3. Considere la curva $TEX: $\Gamma$$ parametrizada por $TEX: $\mathbf{r}(t) = (4\cos t, 4\sin t,4\cos t)$$ donde $TEX: $t\in\mathbb{R}$$ . a) (4,0 ptos.) Calcule $TEX: $T(t),\ N(t),\ \kappa (t)$$ . b) (2,0 ptos.) Calcule $TEX: $B(t),\ \tau (t)$$ . Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

TribalJazz2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2014, 03:53 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 195 Registrado: 26-December 10 Desde: Nuncajamás. Miembro Nº: 82.286 Nacionalidad: Sexo:	Ingeniería Matemática Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Cálculo Diferencial 11-2 Control 3 Semestre Primavera 2011 P1. (2,0 ptos.) Sea $TEX: $\rho=f(\theta)$$ la ecuación en coordenadas polares de una curva $TEX: $\Gamma$$ . Demuestre que el largo de $TEX: $\Gamma$$ en el intervalo $TEX: $[\theta_1,\theta_2]$$ es $TEX: \[L=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{(f(\theta))^2+(f^\prime(\theta))^2}\,d\theta\]$ (3,0 ptos.) Demuestre que para el caso en que se cumpla que $TEX: $f^\prime(\theta)=af(\theta)$$ , con $TEX: $a\in\mathbb{R}$$ , la curvatura de $TEX: $\Gamma$$ en cualquier $TEX: $\theta$$ está dada por $TEX: \[\kappa(\theta)=\frac{1}{\sqrt{(f(\theta))^2+(f^\prime(\theta))^2}}\]$ (1,0 pto.) Considere la curva $TEX: $\Gamma$$ defnida por $TEX: $\rho=e^{-2\theta}$$ con $TEX: $\theta\in[0,2\pi]$$ . Calcule la longitud de $TEX: $\Gamma$$ en el intervalo $TEX: $[0,2\pi]$$ y $TEX: $\kappa(\theta)$$ . P2. Considere la curva $TEX: $\Gamma$$ parametrizada por $TEX: \[\vec{r}(t) = \left(\int_0^t e^{-u}\cos(u^2),\int_0^t e^{-u}\sin(u^2),1-e^{-t}\right),\quad t\in[0,\infty)\]$ Se pide: (2,0 ptos.) Calcule la longitud de $TEX: $\Gamma$$ en el intervalo $TEX: $[0,\infty)$$ y encuentre su parametrización en función del arco $TEX: $s$$ . (2,0 ptos.) Determine $TEX: $T,\ N,\ \kappa(t)$$ (en función de $TEX: $t$$ ). (2,0 ptos.) Determine $TEX: $B,\ \tau(t)$$ (en función de $TEX: $t$$ ). P3. (3,0 ptos.) Calcule, si existe, el área de la región bajo la curva $TEX: \[f(x)=\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}\]$ en el primer cuadrante. Indicación: El eje $TEX: $OX$$ es asíntota horizontal de $TEX: $f$$ . (3,0 ptos.) Demuestre que el volumen de revolución en torno al eje $TEX: $OX$$ de la región en (i), existe (no lo calcule). Además averigüe si existe el volumen de revolución en torno al eje $TEX: $OY$$ de la misma región defnida en (i). Tiempo: 3 horas Soluciones: P1. Pendiente. P2. Pendiente. P3. Pendiente. -------------------- Ahora si a esparcir la semilla citas: "La matemática es la ama de llaves de las otras ciencias." Iván Masanés "¡Skadush!" Po $TEX: \[\forall u,v \in \mathbb{R}^n, (u\cdot v)^2\leq\\|u\\|^2\\|v\\|^2\]$ Cauchy y Schwarz... Y Bun... Casi poético: CITA(Kaissa @ Aug 2 2012, 08:47 PM) Estúdia por gusto y de hecho... no estudies! aprende, busca, indaga, pregúntate cosas, busca respuestas, en fin! Por un caído en la guerra del trolleo: CITA(~Fatal_Collapse~ @ Feb 20 2011, 07:49 PM) [juice] O sea.. podriamos decir que entre dos Kaissas (digamos, Kaissa_1<Kaissa_2), existe Kaissa_3 tal que $TEX: $K_1<K_3<K_2$$ ???[/juice]

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