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> Uno pal' frio, encuentre x+y+z :D
jucca!
mensaje May 2 2014, 12:07 PM
Publicado: #1


Maestro Matemático
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Si TEX: $a,b,c,x,y,z\in R^{+}$, encuentre la suma de TEX: $x+y+z$ , sabiendo que:

TEX: $x^{2}+xy+y^{2}=a^{2}$

TEX: $x^{2}+xz+z^{2}=b^{2}$

TEX: $y^{2}+yz+z^{2}=a^{2}+b^{2}$
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Niklaash
mensaje May 2 2014, 01:36 PM
Publicado: #2


Doctor en Matemáticas
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c en R⁺ , donde esta? o error de tipeo xd
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jucca!
mensaje May 2 2014, 01:45 PM
Publicado: #3


Maestro Matemático
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CITA(Niklaash @ May 2 2014, 01:36 PM) *
c en R⁺ , donde esta? o error de tipeo xd


Oh wait, jaja es la costumbre de escribir a,b,c. error de tipeo.
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pprimo
mensaje May 2 2014, 01:58 PM
Publicado: #4


Dios Matemático Supremo
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Es parecido
http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=84578
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mamboraper
mensaje Mar 9 2017, 10:54 PM
Publicado: #5


Maestro Matemático
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Una bonita que se me ocurrió

TEX: Veamos que $x^{2}+xy+y^2=a^2\Rightarrow x^2+y^2-2xy\cos{\frac{2\pi}{3}}=a^2$, es decir, por el T. del coseno podemos formar un triángulo de lados $x,y,a$ y ángulo $\frac{2\pi}{3}$. Haciendo lo mismo en las demás ecuaciones vemos que podemos formar triángulos de lados $x,z,b$ y $z,y,\sqrt{a^2+b^2}$, de tal manera que el siguiente triángulo es válido:

TEX: Donde $\triangle{ABC}$ es rectángulo en $A$ y $\angle{APC}=\angle{BPC}=\angle{APB}=\frac{2\pi}{3}$. Por áreas tenemos que: $$\sin{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\left(\frac{xy}{2}+\frac{yz}{2}+\frac{xz}{2}\right)=\frac{ab}{2}\Rightarrow xy+yz+xz=\frac{2ab}{\sqrt{3}}$$ Además, sumando las ecuaciones se obtiene que $$2(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+xz)=2(a^2+b^2)$$ $$\Rightarrow 2(x+y+z)^2=2(a^2+b^2)+3(xy+yz+xz)$$ $$\Rightarrow 2(x+y+z)^2=2(a^2+b^2)+3\cdot \frac{2ab}{\sqrt{3}}$$ $$x+y+z=\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt{3}} \ \blacksquare$$


--------------------
Hago clases particulares (activo 2024).
Cualquier consulta por MP.
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lang
mensaje Mar 10 2017, 06:59 PM
Publicado: #6


Matemático


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Bella solucion.
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