Ejercicios de números complejos

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Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2014, 07:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent 1. Calcula $(1-i)^{2014}$ \\ \\ 2. Calcula \begin{center} $\displaystyle \frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}+i)^{5}}{(-1-i\sqrt{3})^{10}}$ \end{center}<br /> 3. Para $n \in \mathbb{N}$ encuentra $z^n+z^{-n}$ si $z+z^{-1}=\sqrt{3}$ y $ z \in \mathbb{C}$$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2014, 07:45 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Lo hice a la rapida mientras hago el informe de mi practica $TEX: $$\left( 1-i \right)^{2014}=\left( \sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \right)^{2014}=2^{1007}\left( \left( \cos \left( -\frac{\pi }{4} \right)+i\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \right) \right)^{2014}=2^{1007}\exp ^{2014}\left( -\frac{\pi i}{4} \right)$$$ $TEX: $$=2^{1007}\exp \left( -\frac{1007\pi i}{2} \right)=2^{1007}\exp \left( -504\pi i+\frac{\pi i}{2} \right)=2^{1007}\left( \cos \left( \frac{\pi }{2}-504\pi \right)+i\sin \left( \frac{\pi }{2}-504\pi \right) \right)$$$ $TEX: $$=2^{1007}\left( \sin \left( 504\pi \right)+i\cos \left( 504\pi \right) \right)=2^{1007}i$$$

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2014, 07:50 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: $((1-i)^{2})^{1007}=(1-2i-1)^{1007}=(-2i)^{1007}=2^{1007}i$$ edit: me falto un paréntesis xdd Mensaje modificado por juancodmw el Apr 29 2014, 07:51 PM --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2014, 07:52 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	$TEX: $$\frac{\left( 1-i \right)^{10}\left( \sqrt{3}+i \right)^{5}}{\left( -1-\sqrt{3}i \right)^{10}}=\frac{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \right)^{10}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right)^{5}}{\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)^{10}}=\frac{\exp ^{10}\left( -\frac{\pi i}{4} \right)\exp ^{5}\left( \frac{\pi i}{6} \right)}{\exp ^{10}\left( \frac{\pi }{3} \right)}$$$ $TEX: $$=\exp \left( -\frac{10\pi i}{4}+\frac{5\pi i}{6}-\frac{10\pi i}{3} \right)=\exp \left( -5\pi i \right)=\cos \left( 5\pi i \right)-i\sin \left( 5\pi i \right)=-1$$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2014, 07:53 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(juancodmw @ Apr 29 2014, 07:50 PM) $TEX: $((1-i)^{2})^{1007}=(1-2i-1)^{1007}=(-2i)^{1007}=2^{1007}i$$ edit: me falto un paréntesis xdd

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2014, 07:56 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	para el problema 3,el resultado es $TEX: $$2\cos \left( \frac{n\pi }{6} \right)$$$ use algo parecido a lo de aca http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=42089 Mensaje modificado por pprimo el May 2 2014, 09:58 AM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 9 2015, 05:43 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P3 es fácil notar que: $TEX: $z=cis \left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)$$ reemplazando: $TEX: $\left(cis \left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)\right)^{n}+\left(cis \left(\pm\dfrac{\pi}{6}\right)\right)^{-n}$$ por moivre: $TEX: $cis \left(\pm\dfrac{n\pi}{6}\right)+cis \left(\mp\dfrac{n\pi}{6}\right)$$ expandiendo: $TEX: $\cos{\left(\pm\dfrac{n\pi}{6}\right)}+i\sin{\left(\pm\dfrac{n\pi}{6}\right)}+\cos{\left(\mp\dfrac{n\pi}{6}\right)}+i\sin{\left(\mp\dfrac{n\pi}{6}\right)}$$ usando que: $TEX: $\cos{(\alpha)}=\cos{(-\alpha)}$$ y que $TEX: $\sin{(\alpha)}=-\sin{(-\alpha)}$$ se sigue que lo pedido es igual a: $TEX: $2\cos{\left(\pm\dfrac{n\pi}{6}\right)}=2\cos{\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)}$$ $TEX: $\blacksquare$$ --------------------

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