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Fecha 2. CEMAT 2007. VIII Región,.M3, Individual

Hexe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2007, 01:29 PM Publicado: #11
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 6-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 164 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Joaquito @ May 13 2007, 05:51 PM) Bueno y esta es mi solución para el 3, que no sé si estará tan buena tampoco =\ pero en fin: $TEX: $p,q$ son enteros naturales$ $TEX: $p>q$$ Uno es par y el otro impar. Su único divisor común es 1 Se demostró en el Problema 1 que: $TEX: $(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)$ es una T.P$ Se nos muestra que: $TEX: $(3,4,5)$ y $(5,12,13)$ son T.P.P$ Deducimos a partir de esto que : a,c son impares y b es par en una T.P.P. Y se nos dice también que el divisor común en una T.P.P no puede ser mayor que uno. Se cumple lo último, por lo que sólo hay que probar que b sea par. (si fueran a,c pares, 2 sería divisor común) $TEX: $b = pq$$ y si p,q son enteros positivos, p*q también; y como se cumple que $TEX: $\frac{2pq}{2} = pq$$ b es par. Q.E.D Vago quizás pero no recuerdo qué más puse . holi joaquito tengo una duda con tu respuesta que pasa si la terna pitagórica es (9,12,15) ahi también b es par, pero la terna no es primitiva creo q falta algo para completar tu respuesta

Joaquito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2007, 04:34 PM Publicado: #12
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 54 Registrado: 21-April 07 Miembro Nº: 5.372 Nacionalidad: Sexo:	Buena Reflexión . Pero no dije sólo eso, también agregué que el mayor divisor común es 1, y en tu caso es 3 . Por eso al cumplirse estas dos cosas queda demostrado que es una terna pitagórica primitiva . Eso es lo que creo yo.

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2007, 04:45 PM Publicado: #13
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Joaquito @ May 14 2007, 04:34 PM) también agregué que el mayor divisor común es 1 cuando sucede eso los numeros son "Comprimos" o "Primos relativos". saludos -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Hexe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2007, 05:47 PM Publicado: #14
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 39 Registrado: 6-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 164 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	a ya ahora me quedo claro grax

ciunhaly Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2007, 12:40 AM Publicado: #15
Maestro Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 128 Registrado: 30-June 06 Desde: En Rio de Janeiro, Brasil Miembro Nº: 1.477 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Joaquito, al parecer no entendiste en que diferenciaba contigo, el tema es simple. En primer lugar tú pruebas que es una terna asumiendo que lo es. Así asumes que se cumple que: $TEX: $a^2+b^2=c^2$$ , y eso es lo que se pedia, por que no mejor partir de $TEX: $a^2+b^2=(p^2-q^2)^2+(2pq)^2=........ $$ , y llegas a que se cumple la igualdad, pero sin asumirla previamente. -------------------- _______________________________________________________________ "La primera regla de la enseñanza es saber lo que se debe enseñar. La segunda, es saber un poco más de aquello que se debe enseñar". George Polya Eu sou uma estudante da UFRJ.

Joaquito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2007, 06:41 PM Publicado: #16
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 54 Registrado: 21-April 07 Miembro Nº: 5.372 Nacionalidad: Sexo:	Sí entendí . Pero es básicamente lo mismo porque lo que yo hago es partir de la base supuesta y ver si funciona; y al final al ser las dos cosas iguales asumo que está bien . De cualquier forma creo que usaré de ahora en adelante tu modo porque es más fácil de hacer entender así

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2007, 10:34 PM Publicado: #17
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Joaquito @ May 18 2007, 06:41 PM) Sí entendí . Pero es básicamente lo mismo porque lo que yo hago es partir de la base supuesta y ver si funciona; y al final al ser las dos cosas iguales asumo que está bien . De cualquier forma creo que usaré de ahora en adelante tu modo porque es más fácil de hacer entender así La gracia de la demostracion es llegar a lo que quieres demostrar, nunca debes partir al reves pues puede haber algo que no calce, si lo sigues haciendo asi en el cemat sacaras muy poco. yo lo hice asi: $TEX: \noindent \fbox{Problema 1}\\<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />c^2-a^2&=(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2\\<br />&=p^4+2p^2q^2+q^4-(p^4-2p^2q^2+q^4)\\<br />&=4p^2q^2\\<br />&=(2pq)^2\\<br />&=b^2<br />\end{aligned}\end{equation}<br />\\<br />Donde se cumple la terna pitag\'orica $(a^2+b^2=c^2\Longleftrightarrow c^2-a^2=b^2)$.$ Te traerá varios problemas si continuas de la otra forma (te lo digo por experiencia propia ) -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2007, 10:36 PM Publicado: #18
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \fbox{Problema 2}\\<br />Sea r el radio de la circunferecia mayor de centro $\xi$ y k la menor.\\<br />Sea a el lado del tri\'angulo.$ C_r.png ( 15.18k ) Número de descargas: 4 $TEX: \noindent Por enunciado tenemos\\<br />$$\pi\cdot r^2=24\Longrightarrow r^2=\dfrac{24}\pi\Longrightarrow \boxed{r=\sqrt{\dfrac{24}{\pi}}}$$<br />\\<br />Luego al ser un tri\'angulo equilatero sabemos que $\varsigma$ es el incentro, baricentro y circuncentro; de donde se extrae que $\dfrac{\overline{C\varsigma}}{\overline{\varsigma E}}=\dfrac21$ por la propiedad de la mediana.<br />luego llamaremos k a la constante de proporcionalidad entre los segmentos, de aqui se deduce que el radio del circulo menor es $k$, la altura $h_c=3k$ y $r=2k$ entonces<br />$$r=2k=\sqrt{\dfrac{24}{\pi}}\Longrightarrow k=\dfrac{\sqrt4\cdot\sqrt6}{2\sqrt{\pi}}\Longrightarrow\boxed{k=\sqrt{\dfrac{6}\pi}}$$<br />Finalmente, reemplazando en la formula del area.<br />$$\pi k^2=\pi\cdot \sqrt{\dfrac{6}\pi}^2=6$$<br />$ Edit: se me olvidaba la imagen Mensaje modificado por zirou el May 25 2007, 10:38 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2007, 10:46 PM Publicado: #19
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Por proporciones $TEX: \noindent \fbox{Problema 3}\\<br />Se usaran las mismas letras que en el post anterior.<br />Recordando la propiedad de la mediana y el baricentro tenemos lo siguiente:\\<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\dfrac{r}{k}&=\dfrac21\qquad\Big/ ()^2\\<br />\dfrac {r^2}{k^2}&=\dfrac41\qquad\Big/\cdot \pi\\<br />\dfrac {\pi\cdot r^2}{\pi\cdot k^2}&=\dfrac{4\pi}{\pi}\qquad\Big/\textit{Reemplazando y simplificando}\\<br />\dfrac{24}{\pi\cdot k^2}&=\dfrac41\\<br />24&=4\pi\cdot k^2\\<br />6&=\pi\cdot k^2<br />\end{aligned}\end{equation}$ Listo ahora hay tres formas de ver el problema; esta ultima no es totalmente de mi autoría, me soplaron "proporciones" Saludos Mensaje modificado por zirou el May 25 2007, 10:56 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

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