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uno pa ejercitar binomio

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2014, 08:34 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Si $\displaystyle C_k^n={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, pruebe que<br />$$\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kC_k^n}{(k+2)(k+3)}=\frac{1}{(n+2)(n+3)}$$<br />pruebe primero (o asuma) que<br />$$\sum_{k=0}^nkC_k^np^kq^{n-k}=np(p+q)^{n-1}$$$ salu2!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2016, 01:41 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Haciendo nikita-nipone's multiplicativos a la sumatoria y un cambio de índice, llegamos a: $$S=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\displaystyle \sum_{k=3}^{n+3}{(-1)^{k}(k-2)\binom{n+3}{k}}$$<br /><br />Desarrollamos la sumatoria: $$=\displaystyle \sum_{k=3}^{n+3}{k\cdot (-1)^{k}\binom{n+3}{k}}-2\sum_{k=3}^{n+3}{(-1)^{k}\binom{n+3}{k}}$$ <br /><br />Podemos usar el enunciado en la primera suma y en la segunda usar directamente binomio: $$\displaystyle (-(n+3)(1+(-1))^{n+3}-(0-(n+3)+(n+3)(n+2)))-(2(1+(-1))^{n+3}-(2-2(n+3)+(n+3)(n+2)))$$ $$=(n+3)-(n+3)(n+2)+2-2(n+3)+(n+3)(n+2)=2-(n+3)=-(n+1)$$<br /><br />Finalmente: $$S=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\cdot -(n+1)=\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}\blacksquare$$$ --------------------

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