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Fecha 2. CEMAT 2007. VIII Región. M4, Individual

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2007, 11:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 1} \textit{Clotildita, una de las bisnietas del abuelo Anacleto, matematico jubilado y aventurero, resolvio la ecuacion cuadratica $x^2-14x+F$, donde F denota un numero que se borro. Sabiendo que las soluciones son 2 numeros primos distintos, determinar el valor de F.}\\<br />\textbf{Problema 2} \textit{Encontrar todos los numeros $n$, $m$ tales que:}<br />$$\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{m}{2n}=1$$<br />\textbf{Problema 3} \textit{Jacintito, otro de los bisnietos del abuelo Anacleto, estaba jugando con los tetrominos del bisabuelo. Tiene 15 tetrominos rectos, formados por 4 cuadrados congruentes en linea recta y 1 tetromino "L", formado por 4 cuadrados congruentes, tres en linea recta y uno sobre el tercero (similar al movimiento de un caballo de ajedrez). ¿se puede cubrir totalmente un tablero de 8x8 usando estos 16 tetrominos?}$ a postear se ha dicho. Mensaje modificado por Cesarator el May 13 2007, 01:26 PM -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2007, 11:14 PM Publicado: #2
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent {\bf Problema 1}\\<br />$$x^2+14x+F=(x-a)(x-b)$$<br />de donde a y b son las raices primas de la ecuacion.\\<br />Luego de la factorizacion echa se pueden sacar dos conclusiones.\\<br />$$a+b=14$$<br />$$a\cdot b=F$$<br />Usando Paridad en la primera nos damos cuenta que los primos solo pueden ser impares, entonces se descarta el 2.\\<br />luego nos quedan los siguientes primos:\\<br />$$3,5,7,11,13$$<br />haciendo una leve inspeccion en cada uno de ellos obtenemos que los primos pedidos son 11 y 3, entonces:\\<br />$$11\cdot3=33$$<br />$ Mensaje modificado por zirou el May 12 2007, 11:37 PM -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

GlagosSA Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2007, 11:22 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 380 Registrado: 22-April 06 Desde: Chillan, chile, sudamerica, el mundo Miembro Nº: 912 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 2}\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{m}{2n}&=1\\<br />\dfrac{2}{2n^2}+\dfrac{mn}{2n^2}&=1\\<br />\dfrac{2+mn}{2n^2}&=1\\<br />2+mn&=2n^2\\<br />\dfrac{2(n^2-1)}{n}&=m\\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Ahora, como m es entero, n tiene que dividir a 2 o a $n^2-1$, pero $n$ nunca dividira a $n^2-1$, pues $n^2-1=(n-1)(n+1)$, de donde es logico que no divide a $n-1$, y no divide a $n+1$ a menos que $n=1$\\<br />Luego tendremos que n divide a 2, de donde obtenemos:\\<br />$(n,m)=(-2,-3),(-1,0),(1,0),(2,3)$<br />$ -------------------- Un dia aciago del año 212 a.C., durante la segunda querra punica, Arquimedes se encontraba contemplando algunos circulos que tenia dibujados sobre la arena. Un soldado romano trató de interrumpirlo. La reaccion del genio frente a la presencia del enemigo invasor, el lugar de ser miedo, fue indignacion por verse interrumpido en su trabajo intelectual.-"¡deje en paz a mis circulos!"- Unos minutos mas tarde, el maestro matematico de 75 años, muere atravesado por una espada romana. La altura de tu Vuelo dependera del tamaño de los Ideales que lleves por Alas.. El beso es la distancia mas corta entre Tú y Yo..

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2007, 11:24 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno, de partida el P2 no lo tengo del todo bueno Leí soluciones naturales y eran enteras En fin, acá va la solución al 1 $TEX: \noindent $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=14$\\<br />\\<br />viendo todos los pares de soluciones que suman 14\\<br />$1+13$; $2+12$; $3+11$; $4+10$; $5+9$; $6+8$; $7+7$\\<br />Nos damos cuenta que s\'olo un par est\'a formado por dos n\'umeros primos diferentes: $3+11$\\<br />Por tanto:\\<br />\\<br />$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=c$\\<br />\\<br />$33=F$$ [EDIT]: Aprovecho de poner mi versión para el P2 $TEX: \noindent $\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{m}{2n}=\dfrac{2+mn}{2n^2}=1$\\<br />\\<br />$2+mn=2n^2$\\<br />$2=n(2n-m)$\\<br />\\<br />$n=\dfrac{2}{2n-m}$\\<br />\\<br />Notemos que $n$ es un entero igual a $2$ dividido algo. O sea que es un factor de 2. Por lo tanto los \'unicos posibles valores para $n$ son: $2$, $1$, $-1$ y $-2$<br />S\'olo queda reemplazar estos valores para obtener los valores de $m$:<br />$(n,m)=(2,3),(1,0),(-1,0),(-2,-3)$$ Mensaje modificado por Manuel71 el May 12 2007, 11:36 PM

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2007, 12:01 AM Publicado: #5
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent {\bf Problema 2''}\\<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\dfrac1 n^2+\dfrac{m}{2n}&=1\qquad\Big/\cdot 2n^2\\<br />2+mn&=2n^2\\<br />2n^2-mn-2&=0\\<br />\dfrac{(2n)^2-(2n)m-4}{2}&=0\\<br />\dfrac{(2n-a)(2n+b)}{2}&=0\qquad ()<br />\end{aligned}\end{equation}<br />donde a,b son soluciones de la ecuaci\'on $(2n)^2-(2n)m-4$, entonces sabemos que:\\<br />\begin{eqnarray}<br />a+b&=&m\\<br />a\cdot b&=&4<br />\end{eqnarray}<br />Luego por regla de signos sabemos que en (2) los valores de a,b deben tener el mismo signo; luego haciendo una inspecci\'on encontramos los siguientes n\'umeros.\\<br />\begin{center}\begin{tabular}{\|l\|l\|}<br />\hline<br />\multicolumn{1}{\|c\|}{a} & \multicolumn{1}{c\|}{b} \\ <br />\hline<br />\multicolumn{1}{\|c\|}{2} & \multicolumn{1}{c\|}{2} \\ <br />\multicolumn{1}{\|c\|}{-2} & \multicolumn{1}{c\|}{-2} \\ <br />\multicolumn{1}{\|c\|}{4} & \multicolumn{1}{c\|}{1} \\ <br />\multicolumn{1}{\|c\|}{-4} & \multicolumn{1}{c\|}{-1} \\ <br />\hline<br />\end{tabular}\end{center}<br />Reemplazando en (1) obtenemos los siguientes valores de m.\\<br />\begin{center}\begin{tabular}{l\|l}<br />\cline{1-1}<br />\multicolumn{1}{\|l\|}{m:} & 0 \\ <br />\cline{1-1}<br /> & 0 \\ <br /> & 3 \\ <br /> & -3 \\ <br />\end{tabular}\end{center}<br />Ahora, finalmente, al reemplazar en la ecuacion () obtenemos los siguientes pares de n\'umeros n,m$ $TEX: respectivamente.\\<br />\begin{center}\begin{tabular}{l\|l}<br />\hline<br />\multicolumn{1}{\|c\|}{m} & \multicolumn{1}{c\|}{n} \\ <br />\hline<br />\multicolumn{1}{c\|}{0} & \multicolumn{1}{c}{-1} \\ <br />\multicolumn{1}{c\|}{0} & \multicolumn{1}{c}{1} \\ <br />\multicolumn{1}{c\|}{3} & \multicolumn{1}{c}{2} \\ <br />\multicolumn{1}{c\|}{-3} & \multicolumn{1}{c}{-2} \\ <br />\end{tabular}\end{center}$ Lo escribi a la rapida, pero creo que se entiende la idea. -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

r_kstro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2007, 01:56 AM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 13-May 07 Miembro Nº: 5.806 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 3:} para mi la solucion es esta\\<br />\textbf{---}El tablero de ajedrez no puede ser recubierto con 16 tetranomios (15 rectos y 1 con forma de L) porque al haber solo 1 con forma de \textbf{L} y este o uno de los rectos no pueden ser modificados, altera la distribucion de los otros 15 tetranomios rectos quedando un pequeño espacio sin recubrir. Entonces la unica forma de que calse todo bien seria que el tetranomio \textbf{L} se transformase en recto o que uno recto quedase como Tetranomio L.$ Mensaje modificado por r_kstro el May 13 2007, 01:57 AM

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2007, 05:16 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Bueno el 3 lo resolví así, no es exactamente como lo escribí en la prueba pero es la misma idea. Imaginemos que el tablero está cubierto por dos capas (Una sobre la otra): Nótese que una es sólo el reflejo vertical de la otra. Trabajemos con la "Capa 1". Ésta sigue la secuencia ...DABCDA... hacia la derecha o hacia abajo. Por tanto un tetrominó largo siempre ocupará las cuatro letras. Se concluye entonces que luego de poner los 15 tetrominós largos siempre quedan libres una casilla de cada letra. Un tetrominó L, en alguna de las siguientes posiciones: siempre ocupará alguna letra repetida en la "Capa 1", por lo tanto es imposible que se pueda llenar el tablero con éste. Para las otras cuatro orientaciones del tetrominó L, notemos que son sólo los reflejos verticales de los ya mencionados así que sólo basta usar la "Capa 2" para mostrar que tampoco podemos llenar el tablero con ellos.

Zirou Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2007, 08:45 PM Publicado: #8
Máquina que convierte café en teoremas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.665 Registrado: 18-August 05 Desde: Concepción Miembro Nº: 247 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \fbox{Problema 3}\\<br />Se colorea el tablero como muestra la figura.$ coloracion_a_puntos.PNG ( 3.74k ) Número de descargas: 3 $TEX: Luego si situamos cualquier tetranomio lineal tendemos lo sigueinte:$ en_linea.PNG ( 1.66k ) Número de descargas: 2 $TEX: \noindent En donde siempre se tendran 2 casilleros azules y dos blancos o 4 azules y 0 blancos (y viciversa)\\<br />En cambio el tetranomio en forma de L se coloreara as\'i$ LA_L.PNG ( 1.75k ) Número de descargas: 2 $TEX: De donde siempre se colorear\'a 3 azules y 1 blanco o 3 blancos y 1 azul.$ $TEX: \noindent{\bf Soluci\'on}\\<br />Notemos que la suma de los colores (por separado) en el tetranomio lineal siempre sera par, ya que 4, 2, 0 lo son; en cambio en el tetranomio de L seran impares (ya que 1 y 3 lo son).\\<br />\\<br />Al sumar ambos tetranomios obtendremos un numero impar de casillas azules y un numero impar de casillas blancas, pero el tablero tiene 32 casillas azules y 32 blancas, por lo que NUNCA conseguiremos llenar el tablero con tetranomios como lo indica el problema.$ -------------------- $TEX: $mathcal{Z}$ $imath$ $Re$ $varnothing$ $mho$$ Manual para subir imágenes y archivos a fmat (con servidor propio) Manual de latex Estilo Propio Lista de libros en fmat "Un Matemático es una máquina que trasforma café en teoremas"(Erdös) --- Consultas, sugerencias, reclamos via mp o a los correos mencionados.

alvaro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2007, 10:31 PM Publicado: #9
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 163 Registrado: 5-August 06 Desde: Concepción, Octava región. Miembro Nº: 1.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \textbf{Una visi\'on m\'as simple, para el problema 2:}$ $TEX: $\frac{1}{n^2}+ \frac{m}{2n}=1$$ $TEX: $\frac{2}{2n^2}+ \frac{nm}{2n^2}=1$$ $TEX: $\frac{2+mn}{2n^2}=1$$ $TEX: $2+mn=2n^2$$ $TEX: $2=n(2n-m)$$ Como "2" se puede descomponer de la siguiente forma: 2x1 ó -2x-1 ....1 Entonces; $TEX: $n=\pm1,\pm2.$$ (Por el análisis 1) Luego,al sustituir estós posibles valores de $TEX: $n$$ en $TEX: $2n-m$$ , e igualando este último a un valor distinto al dado para $TEX: $n$$ , según la condición 1. Se obtienen los siguientes valores para $TEX: $n$$ y $TEX: $m$$ : $TEX: $n=\pm1,\pm2.$$ y $TEX: $m=\pm0,\pm3.$$ (Respectivamente) Mensaje modificado por alvaro el Jun 5 2007, 11:24 PM -------------------- "Me esfuerzo por ser mejor; y no él mejor" A.Flores

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