Interesante ecuación compleja

Interesante ecuación compleja

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pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2014, 02:25 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Sea $TEX: $$z\in \mathbb{C}$$$ tal que $TEX: $$\left \| z \right \|=1$$$ Resolver la ecuacion $TEX: $$\left ( z^{2}+z+1 \right )^{n}+\left ( -z^{2}+z-1 \right )^{n}=\left ( 2z \right )^{n}$$$ donde $TEX: $$n\in \mathbb{N}$$$ Saludos!

RoDD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2014, 03:46 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 2-April 14 Miembro Nº: 128.230 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Mori... x.x recién estoy comenzando mat021 ... me siento un pollito pio... :c ojalá algún día saber todo lo que sabe el súper mechón... :3 llevo menos de 1 mes en la u... jijiji Saludos! -------------------- Mechón 2014 CITA "No es grande aquel que nunca falla si no el que nunca se da por vencido."

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2014, 09:28 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Multiplicar por "algo" conocido ambos lados. ¿Notaste que lo que está dentro de los paréntesis está relacionado entre si? -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2014, 09:59 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(RoDD @ Apr 2 2014, 03:46 PM) Mori... x.x recién estoy comenzando mat021 ... me siento un pollito pio... :c ojalá algún día saber todo lo que sabe el súper mechón... :3 llevo menos de 1 mes en la u... jijiji Saludos! No tiene nada del otro mundo si se piensa bien, un cambio de variable es una buena alternativa.

RoDD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 21 2014, 09:06 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 2-April 14 Miembro Nº: 128.230 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Apr 4 2014, 09:59 PM) No tiene nada del otro mundo si se piensa bien, un cambio de variable es una buena alternativa. Es que no he visto aún los números complejos -------------------- Mechón 2014 CITA "No es grande aquel que nunca falla si no el que nunca se da por vencido."

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2016, 08:48 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Si hacemos $z=a+bi$ obtenemos que $z^2+z+1=z(1+2a)$ y $-z^2+z-1=z(1-2a)$, luego la ecuación se convierte en $$(z(1+2a))^n + (z(1-2a))^n = (2z)^n\implies (1+2a)^n+(1-2a)^n=2^n$$ Más aún: $$\left(\dfrac{1}{2}+a\right)^n+\left(\dfrac{1}{2}-a\right)^n=1$$ De donde tenemos las soluciones $a=\pm\dfrac{1}{2}$ sigue que los pares $(a,b)$ que cumplen lo pedido son $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right)$, $\left(\dfrac{-1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\left(\dfrac{-1}{2}, \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right)$.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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